2*cos(x)+1<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2*cos(x)+1<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

2*cos(x) + 1 < 0

$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Перенесём 1 в правую часть ур-ния

с изменением знака при 1

Получим:
$$2 \cos{\left(x \right)} = -1$$

Разделим обе части ур-ния на 2

Ур-ние превратится в
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{2 \pi}{3}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 < 0$$
$$2 \cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3} \right)} + 1 < 0$$

          n    /1    pi\    
1 - 2*(-1) *cos|-- + --| < 0
               \10   3 /    

но

          n    /1    pi\    
1 - 2*(-1) *cos|-- + --| > 0
               \10   3 /    

Тогда
$$x < \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \pi n + \frac{2 \pi}{3} \wedge x < \pi n - \frac{\pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /2*pi          4*pi\
And|---- < x, x < ----|
   \ 3             3  /

$$\frac{2 \pi}{3} < x \wedge x < \frac{4 \pi}{3}$$

Быстрый ответ 2

 2*pi  4*pi 
(----, ----)
  3     3   

$$x\ in\ \left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right)$$

График