2*sin(x)-1>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2*sin(x)-1>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

2*sin(x) - 1 > 0

$$2 \sin{\left (x \right )} - 1 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2 \sin{\left (x \right )} - 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Перенесём -1 в правую часть ур-ния

с изменением знака при -1

Получим:
$$2 \sin{\left (x \right )} = 1$$

Разделим обе части ур-ния на 2

Ур-ние превратится в
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \frac{\pi}{6} + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
подставляем в выражение
$$2 \sin{\left (x \right )} - 1 > 0$$
$$2 \sin{\left (2 \pi n + \frac{\pi}{6} + - \frac{1}{10} \right )} - 1 > 0$$

          /  1    pi         \    
-1 + 2*sin|- -- + -- + 2*pi*n| > 0
          \  10   6          /    

Тогда
$$x < 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n + \frac{\pi}{6} \wedge x < 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /pi          5*pi\
And|-- < x, x < ----|
   \6            6  /

$$\frac{\pi}{6} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ 2

 pi  5*pi 
(--, ----)
 6    6   

$$x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right)$$