(2*x^2/25-10*x-8+25*x^2-10*x-8)^2>=4 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (2*x^2/25-10*x-8+25*x^2-10*x-8)^2>=4 (множество решений неравенства)

Вы ввели

                                    2     
/   2                              \      
|2*x                   2           |      
|---- - 10*x - 8 + 25*x  - 10*x - 8|  >= 4
\ 25                               /      

$$\left(- 10 x + 25 x^{2} + - 10 x + \frac{2 x^{2}}{25} - 8 - 8\right)^{2} \geq 4$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(- 10 x + 25 x^{2} + - 10 x + \frac{2 x^{2}}{25} - 8 - 8\right)^{2} \geq 4$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(- 10 x + 25 x^{2} + - 10 x + \frac{2 x^{2}}{25} - 8 - 8\right)^{2} = 4$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(- 10 x + 25 x^{2} + - 10 x + \frac{2 x^{2}}{25} - 8 - 8\right)^{2} = 4$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\frac{1}{625} \left(627 x^{2} - 500 x - 450\right) \left(627 x^{2} - 500 x - 350\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$\frac{627 x^{2}}{625} - \frac{4 x}{5} - \frac{18}{25} = 0$$
$$627 x^{2} - 500 x - 350 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$\frac{627 x^{2}}{625} - \frac{4 x}{5} - \frac{18}{25} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = \frac{627}{625}$$
$$b = - \frac{4}{5}$$
$$c = - \frac{18}{25}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4/5)^2 - 4 * (627/625) * (-18/25) = 55144/15625

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{13786}}{627}$$
$$x_{2} = - \frac{5 \sqrt{13786}}{627} + \frac{250}{627}$$
2.
$$627 x^{2} - 500 x - 350 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 627$$
$$b = -500$$
$$c = -350$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-500)^2 - 4 * (627) * (-350) = 1127800

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{3} = \frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{11278}}{627}$$
$$x_{4} = - \frac{5 \sqrt{11278}}{627} + \frac{250}{627}$$
$$x_{1} = \frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{13786}}{627}$$
$$x_{2} = - \frac{5 \sqrt{13786}}{627} + \frac{250}{627}$$
$$x_{3} = \frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{11278}}{627}$$
$$x_{4} = - \frac{5 \sqrt{11278}}{627} + \frac{250}{627}$$
$$x_{1} = \frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{13786}}{627}$$
$$x_{2} = - \frac{5 \sqrt{13786}}{627} + \frac{250}{627}$$
$$x_{3} = \frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{11278}}{627}$$
$$x_{4} = - \frac{5 \sqrt{11278}}{627} + \frac{250}{627}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{5 \sqrt{13786}}{627} + \frac{250}{627}$$
$$x_{4} = - \frac{5 \sqrt{11278}}{627} + \frac{250}{627}$$
$$x_{3} = \frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{11278}}{627}$$
$$x_{1} = \frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{13786}}{627}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

          _______     
250   5*\/ 13786    1 
--- - ----------- - --
627       627       10

=
$$- \frac{5 \sqrt{13786}}{627} + \frac{1873}{6270}$$
подставляем в выражение
$$\left(- 10 x + 25 x^{2} + - 10 x + \frac{2 x^{2}}{25} - 8 - 8\right)^{2} \geq 4$$

                                                                                                                                2     
/                          2                                                                                                   \      
|  /          _______     \                                                                                                    |      
|  |250   5*\/ 13786    1 |                                                                 2                                  |      
|2*|--- - ----------- - --|       /          _______     \          /          _______     \       /          _______     \    |      
|  \627       627       10/       |250   5*\/ 13786    1 |          |250   5*\/ 13786    1 |       |250   5*\/ 13786    1 |    |      
|--------------------------- - 10*|--- - ----------- - --| - 8 + 25*|--- - ----------- - --|  - 10*|--- - ----------- - --| - 8|  >= 4
|              1                  \627       627       10/          \627       627       10/       \627       627       10/    |      
\            25                                                                                                                /      

                                                     2     
/                                                  2\      
|                              /           _______\ |      
|                              |1873   5*\/ 13786 | |      
|                _______   627*|---- - -----------| |  >= 4
|  13778   100*\/ 13786        \6270       627    / |      
|- ----- + ------------- + -------------------------|      
\   627         627                    25           /      
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{5 \sqrt{13786}}{627} + \frac{250}{627}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------
       x2      x4      x3      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{5 \sqrt{13786}}{627} + \frac{250}{627}$$
$$x \geq - \frac{5 \sqrt{11278}}{627} + \frac{250}{627} \wedge x \leq \frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{11278}}{627}$$
$$x \geq \frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{13786}}{627}$$

Быстрый ответ

  /   /               _______            _______     \     /               _______         \     /          _______             \\
  |   |     250   5*\/ 11278   250   5*\/ 11278      |     |     250   5*\/ 13786          |     |250   5*\/ 13786              ||
Or|And|x <= --- + -----------, --- - ----------- <= x|, And|x <= --- - -----------, -oo < x|, And|--- + ----------- <= x, x < oo||
  \   \     627       627      627       627         /     \     627       627             /     \627       627                 //

$$\left(x \leq \frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{11278}}{627} \wedge - \frac{5 \sqrt{11278}}{627} + \frac{250}{627} \leq x\right) \vee \left(x \leq - \frac{5 \sqrt{13786}}{627} + \frac{250}{627} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{13786}}{627} \leq x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

                _______               _______            _______               _______     
      250   5*\/ 13786      250   5*\/ 11278   250   5*\/ 11278      250   5*\/ 13786      
(-oo, --- - -----------] U [--- - -----------, --- + -----------] U [--- + -----------, oo)
      627       627         627       627      627       627         627       627         

$$x \in \left(-\infty, - \frac{5 \sqrt{13786}}{627} + \frac{250}{627}\right] \cup \left[- \frac{5 \sqrt{11278}}{627} + \frac{250}{627}, \frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{11278}}{627}\right] \cup \left[\frac{250}{627} + \frac{5 \sqrt{13786}}{627}, \infty\right)$$

График