2^(-x)<1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^(-x)<1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 -x      
2   < 1/2

$$2^{- x} < \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{- x} < \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{- x} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2^{- x} = \frac{1}{2}$$
или
$$- \frac{1}{2} + 2^{- x} = 0$$
или
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = \frac{1}{2}$$
или
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = \frac{1}{2}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
получим
$$v - \frac{1}{2} = 0$$
или
$$v - \frac{1}{2} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$2^{- x} < \frac{1}{2}$$
$$2^{\left(-1\right) \frac{2}{5}} < \frac{1}{2}$$

 3/5      
2         
---- < 1/2
 2        
      

но

 3/5      
2         
---- > 1/2
 2        
      

Тогда
$$x < \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

1 < x

$$1 < x$$

Быстрый ответ 2

(1, oo)

$$x\ in\ \left(1, \infty\right)$$

График