2^|x|<=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^|x|<=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 |x|     
2    <= 1

$$2^{\left|{x}\right|} \leq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{\left|{x}\right|} \leq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{\left|{x}\right|} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2^{\left|{x}\right|} = 1$$
преобразуем
$$2^{\left|{x}\right|} - 1 = 0$$
$$2^{\left|{x}\right|} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{x}\right|$$
$$2^{w} - 1 = 0$$
или
$$2^{w} - 1 = 0$$
или
$$2^{w} = 1$$
или
$$2^{w} = 1$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 2^{w}$$
получим
$$v - 1 = 0$$
или
$$v - 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 1$$
Получим ответ: v = 1
делаем обратную замену
$$2^{w} = v$$
или
$$w = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$w_{1} = \frac{\log{\left (1 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} = 0$$
делаем обратную замену
$$\left|{x}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 9.63519204408 \cdot 10^{-13}$$
$$x_{2} = -9.5192263627 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{1} = 9.63519204408 \cdot 10^{-13}$$
$$x_{2} = -9.5192263627 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{3} = 0$$
Данные корни
$$x_{2} = -9.5192263627 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{1} = 9.63519204408 \cdot 10^{-13}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-0.10000000000001$$
=
$$-0.10000000000001$$
подставляем в выражение
$$2^{\left|{x}\right|} \leq 1$$
$$2^{\left|{-0.10000000000001}\right|} \leq 1$$

1.07177346253630 <= 1

но

1.07177346253630 >= 1

Тогда
$$x \leq -9.5192263627 \cdot 10^{-15}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -9.5192263627 \cdot 10^{-15} \wedge x \leq 0$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x2      x3      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq -9.5192263627 \cdot 10^{-15} \wedge x \leq 0$$
$$x \geq 9.63519204408 \cdot 10^{-13}$$

Быстрый ответ

x = 0

$$x = 0$$

Быстрый ответ 2

{0}

$$x \in \left\{0\right\}$$