2^|x|-6>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^|x|-6>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 |x|        
2    - 6 > 0

$$2^{\left|{x}\right|} - 6 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{\left|{x}\right|} - 6 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{\left|{x}\right|} - 6 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2^{\left|{x}\right|} - 6 = 0$$
преобразуем
$$2^{\left|{x}\right|} - 6 = 0$$
$$2^{\left|{x}\right|} - 6 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{x}\right|$$
$$2^{w} - 6 = 0$$
или
$$2^{w} - 6 = 0$$
или
$$2^{w} = 6$$
или
$$2^{w} = 6$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 2^{w}$$
получим
$$v - 6 = 0$$
или
$$v - 6 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 6$$
Получим ответ: v = 6
делаем обратную замену
$$2^{w} = v$$
или
$$w = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$w_{1} = \frac{\log{\left (6 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} = \frac{\log{\left (6 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
делаем обратную замену
$$\left|{x}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2.58496250072$$
$$x_{2} = -2.58496250072$$
$$x_{1} = 2.58496250072$$
$$x_{2} = -2.58496250072$$
Данные корни
$$x_{2} = -2.58496250072$$
$$x_{1} = 2.58496250072$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2.68496250072$$
=
$$-2.68496250072$$
подставляем в выражение
$$2^{\left|{x}\right|} - 6 > 0$$
$$-6 + 2^{\left|{-2.68496250072}\right|} > 0$$

0.430640775212606 > 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -2.58496250072$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -2.58496250072$$
$$x > 2.58496250072$$

Быстрый ответ

  /   /             -log(6) \     /        log(6)    \\
Or|And|-oo < x, x < --------|, And|x < oo, ------ < x||
  \   \              log(2) /     \        log(2)    //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\log{\left (6 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{\log{\left (6 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

      -log(6)      log(6)     
(-oo, --------) U (------, oo)
       log(2)      log(2)     

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\log{\left (6 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right) \cup \left(\frac{\log{\left (6 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}, \infty\right)$$