2^x<1/8 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^x<1/8 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x      
2  < 1/8

$$2^{x} < \frac{1}{8}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{x} < \frac{1}{8}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} = \frac{1}{8}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2^{x} = \frac{1}{8}$$
или
$$2^{x} - \frac{1}{8} = 0$$
или
$$2^{x} = \frac{1}{8}$$
или
$$2^{x} = \frac{1}{8}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v - \frac{1}{8} = 0$$
или
$$v - \frac{1}{8} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{1}{8}$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{8}$$
$$x_{1} = \frac{1}{8}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{8}$$
=
$$\frac{1}{40}$$
подставляем в выражение
$$2^{x} < \frac{1}{8}$$
$$\sqrt[40]{2} < \frac{1}{8}$$

40___      
\/ 2  < 1/8
      

но

40___      
\/ 2  > 1/8
      

Тогда
$$x < \frac{1}{8}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{8}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

x < -3

$$x < -3$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -3)

$$x\ in\ \left(-\infty, -3\right)$$

График