2^x+2<=8 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^x+2<=8 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x         
2  + 2 <= 8

$$2^{x} + 2 \leq 8$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{x} + 2 \leq 8$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} + 2 = 8$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2^{x} + 2 = 8$$
или
$$\left(2^{x} + 2\right) - 8 = 0$$
или
$$2^{x} = 6$$
или
$$2^{x} = 6$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v - 6 = 0$$
или
$$v - 6 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 6$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 6$$
$$x_{1} = 6$$
Данные корни
$$x_{1} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 6$$
=
$$\frac{59}{10}$$
подставляем в выражение
$$2^{x} + 2 \leq 8$$
$$2 + 2^{\frac{59}{10}} \leq 8$$

        9/10     
2 + 32*2     <= 8
     

но

        9/10     
2 + 32*2     >= 8
     

Тогда
$$x \leq 6$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 6$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

         log(3)
x <= 1 + ------
         log(2)

$$x \leq 1 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

          log(3) 
(-oo, 1 + ------]
          log(2) 

$$x\ in\ \left(-\infty, 1 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$

График