2^x*x>4 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^x*x>4 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x      
2 *x > 4

$$2^{x} x > 4$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{x} x > 4$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} x = 4$$
Решаем:
$$x_{1} = \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (16 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
$$x_{1} = \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (16 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (16 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (16 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (16 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
подставляем в выражение
$$2^{x} x > 4$$
$$2^{- \frac{1}{10} + \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (16 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}} \left(- \frac{1}{10} + \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (16 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right) > 4$$

   1    LambertW(log(16))                               
 - -- + -----------------                               
   10         log(2)      /  1    LambertW(log(16))\ > 4
2                        *|- -- + -----------------|    
                          \  10         log(2)     /    

Тогда
$$x < \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (16 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (16 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /        LambertW(log(16))    \
And|x < oo, ----------------- < x|
   \              log(2)         /

$$x < \infty \wedge \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (16 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}} < x$$

Быстрый ответ 2

 LambertW(log(16))     
(-----------------, oo)
       log(2)          

$$x \in \left(\frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (16 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}, \infty\right)$$