tanh(x)^2>1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: tanh(x)^2>1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

    2       
tanh (x) > 1

$$\tanh^{2}{\left (x \right )} > 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\tanh^{2}{\left (x \right )} > 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\tanh^{2}{\left (x \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\tanh^{2}{\left (x \right )} = 1$$
преобразуем
$$- \frac{1}{\cosh^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
$$\tanh^{2}{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tanh{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\tanh{\left (x \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 34$$
$$x_{2} = 92$$
$$x_{3} = 66$$
$$x_{4} = -31.3350186084$$
$$x_{5} = 80$$
$$x_{6} = 70$$
$$x_{7} = -82$$
$$x_{8} = -26.3661315119$$
$$x_{9} = 90$$
$$x_{10} = -78$$
$$x_{11} = -90$$
$$x_{12} = -46$$
$$x_{13} = -48$$
$$x_{14} = 46$$
$$x_{15} = -100$$
$$x_{16} = 31.7312936928$$
$$x_{17} = 72$$
$$x_{18} = -66$$
$$x_{19} = 14.6757793285$$
$$x_{20} = 22.6753972439$$
$$x_{21} = 82$$
$$x_{22} = 98$$
$$x_{23} = 74$$
$$x_{24} = 26.6753908017$$
$$x_{25} = 36$$
$$x_{26} = -24.3661326142$$
$$x_{27} = -70$$
$$x_{28} = -54$$
$$x_{29} = -74$$
$$x_{30} = -31.5673076923$$
$$x_{31} = -32$$
$$x_{32} = 52$$
$$x_{33} = 32$$
$$x_{34} = 32.0000157808$$
$$x_{35} = -60$$
$$x_{36} = -18.3661328275$$
$$x_{37} = 30.6502781482$$
$$x_{38} = 40$$
$$x_{39} = -20.3661325952$$
$$x_{40} = 68$$
$$x_{41} = 16.6754042395$$
$$x_{42} = -86$$
$$x_{43} = -34$$
$$x_{44} = 28.6760419286$$
$$x_{45} = -22.3661325898$$
$$x_{46} = -44$$
$$x_{47} = 62$$
$$x_{48} = -31.9762459966$$
$$x_{49} = -76$$
$$x_{50} = 50$$
$$x_{51} = 88$$
$$x_{52} = -94$$
$$x_{53} = -56$$
$$x_{54} = -52$$
$$x_{55} = -80$$
$$x_{56} = -36$$
$$x_{57} = 78$$
$$x_{58} = 54$$
$$x_{59} = 60$$
$$x_{60} = 24.6753973204$$
$$x_{61} = -64$$
$$x_{62} = -40$$
$$x_{63} = -31.7529322617$$
$$x_{64} = -68$$
$$x_{65} = -28.3660709533$$
$$x_{66} = -38$$
$$x_{67} = -42$$
$$x_{68} = -84$$
$$x_{69} = -50$$
$$x_{70} = 38$$
$$x_{71} = 18.6753973693$$
$$x_{72} = 64$$
$$x_{73} = 86$$
$$x_{74} = -98$$
$$x_{75} = 31.8870724795$$
$$x_{76} = 94$$
$$x_{77} = 48$$
$$x_{78} = -16.3661455107$$
$$x_{79} = -30.3746613928$$
$$x_{80} = 96$$
$$x_{81} = -32.2038153091$$
$$x_{82} = -92$$
$$x_{83} = -96$$
$$x_{84} = 58$$
$$x_{85} = 76$$
$$x_{86} = -88$$
$$x_{87} = 100$$
$$x_{88} = 42$$
$$x_{89} = 84$$
$$x_{90} = 32.4682539683$$
$$x_{91} = 31.7787220654$$
$$x_{92} = -62$$
$$x_{93} = 56$$
$$x_{94} = -58$$
$$x_{95} = -72$$
$$x_{96} = 44$$
$$x_{97} = 20.6753972435$$
$$x_{1} = 34$$
$$x_{2} = 92$$
$$x_{3} = 66$$
$$x_{4} = -31.3350186084$$
$$x_{5} = 80$$
$$x_{6} = 70$$
$$x_{7} = -82$$
$$x_{8} = -26.3661315119$$
$$x_{9} = 90$$
$$x_{10} = -78$$
$$x_{11} = -90$$
$$x_{12} = -46$$
$$x_{13} = -48$$
$$x_{14} = 46$$
$$x_{15} = -100$$
$$x_{16} = 31.7312936928$$
$$x_{17} = 72$$
$$x_{18} = -66$$
$$x_{19} = 14.6757793285$$
$$x_{20} = 22.6753972439$$
$$x_{21} = 82$$
$$x_{22} = 98$$
$$x_{23} = 74$$
$$x_{24} = 26.6753908017$$
$$x_{25} = 36$$
$$x_{26} = -24.3661326142$$
$$x_{27} = -70$$
$$x_{28} = -54$$
$$x_{29} = -74$$
$$x_{30} = -31.5673076923$$
$$x_{31} = -32$$
$$x_{32} = 52$$
$$x_{33} = 32$$
$$x_{34} = 32.0000157808$$
$$x_{35} = -60$$
$$x_{36} = -18.3661328275$$
$$x_{37} = 30.6502781482$$
$$x_{38} = 40$$
$$x_{39} = -20.3661325952$$
$$x_{40} = 68$$
$$x_{41} = 16.6754042395$$
$$x_{42} = -86$$
$$x_{43} = -34$$
$$x_{44} = 28.6760419286$$
$$x_{45} = -22.3661325898$$
$$x_{46} = -44$$
$$x_{47} = 62$$
$$x_{48} = -31.9762459966$$
$$x_{49} = -76$$
$$x_{50} = 50$$
$$x_{51} = 88$$
$$x_{52} = -94$$
$$x_{53} = -56$$
$$x_{54} = -52$$
$$x_{55} = -80$$
$$x_{56} = -36$$
$$x_{57} = 78$$
$$x_{58} = 54$$
$$x_{59} = 60$$
$$x_{60} = 24.6753973204$$
$$x_{61} = -64$$
$$x_{62} = -40$$
$$x_{63} = -31.7529322617$$
$$x_{64} = -68$$
$$x_{65} = -28.3660709533$$
$$x_{66} = -38$$
$$x_{67} = -42$$
$$x_{68} = -84$$
$$x_{69} = -50$$
$$x_{70} = 38$$
$$x_{71} = 18.6753973693$$
$$x_{72} = 64$$
$$x_{73} = 86$$
$$x_{74} = -98$$
$$x_{75} = 31.8870724795$$
$$x_{76} = 94$$
$$x_{77} = 48$$
$$x_{78} = -16.3661455107$$
$$x_{79} = -30.3746613928$$
$$x_{80} = 96$$
$$x_{81} = -32.2038153091$$
$$x_{82} = -92$$
$$x_{83} = -96$$
$$x_{84} = 58$$
$$x_{85} = 76$$
$$x_{86} = -88$$
$$x_{87} = 100$$
$$x_{88} = 42$$
$$x_{89} = 84$$
$$x_{90} = 32.4682539683$$
$$x_{91} = 31.7787220654$$
$$x_{92} = -62$$
$$x_{93} = 56$$
$$x_{94} = -58$$
$$x_{95} = -72$$
$$x_{96} = 44$$
$$x_{97} = 20.6753972435$$
Данные корни
$$x_{15} = -100$$
$$x_{74} = -98$$
$$x_{83} = -96$$
$$x_{52} = -94$$
$$x_{82} = -92$$
$$x_{11} = -90$$
$$x_{86} = -88$$
$$x_{42} = -86$$
$$x_{68} = -84$$
$$x_{7} = -82$$
$$x_{55} = -80$$
$$x_{10} = -78$$
$$x_{49} = -76$$
$$x_{29} = -74$$
$$x_{95} = -72$$
$$x_{27} = -70$$
$$x_{64} = -68$$
$$x_{18} = -66$$
$$x_{61} = -64$$
$$x_{92} = -62$$
$$x_{35} = -60$$
$$x_{94} = -58$$
$$x_{53} = -56$$
$$x_{28} = -54$$
$$x_{54} = -52$$
$$x_{69} = -50$$
$$x_{13} = -48$$
$$x_{12} = -46$$
$$x_{46} = -44$$
$$x_{67} = -42$$
$$x_{62} = -40$$
$$x_{66} = -38$$
$$x_{56} = -36$$
$$x_{43} = -34$$
$$x_{81} = -32.2038153091$$
$$x_{31} = -32$$
$$x_{48} = -31.9762459966$$
$$x_{63} = -31.7529322617$$
$$x_{30} = -31.5673076923$$
$$x_{4} = -31.3350186084$$
$$x_{79} = -30.3746613928$$
$$x_{65} = -28.3660709533$$
$$x_{8} = -26.3661315119$$
$$x_{26} = -24.3661326142$$
$$x_{45} = -22.3661325898$$
$$x_{39} = -20.3661325952$$
$$x_{36} = -18.3661328275$$
$$x_{78} = -16.3661455107$$
$$x_{19} = 14.6757793285$$
$$x_{41} = 16.6754042395$$
$$x_{71} = 18.6753973693$$
$$x_{97} = 20.6753972435$$
$$x_{20} = 22.6753972439$$
$$x_{60} = 24.6753973204$$
$$x_{24} = 26.6753908017$$
$$x_{44} = 28.6760419286$$
$$x_{37} = 30.6502781482$$
$$x_{16} = 31.7312936928$$
$$x_{91} = 31.7787220654$$
$$x_{75} = 31.8870724795$$
$$x_{33} = 32$$
$$x_{34} = 32.0000157808$$
$$x_{90} = 32.4682539683$$
$$x_{1} = 34$$
$$x_{25} = 36$$
$$x_{70} = 38$$
$$x_{38} = 40$$
$$x_{88} = 42$$
$$x_{96} = 44$$
$$x_{14} = 46$$
$$x_{77} = 48$$
$$x_{50} = 50$$
$$x_{32} = 52$$
$$x_{58} = 54$$
$$x_{93} = 56$$
$$x_{84} = 58$$
$$x_{59} = 60$$
$$x_{47} = 62$$
$$x_{72} = 64$$
$$x_{3} = 66$$
$$x_{40} = 68$$
$$x_{6} = 70$$
$$x_{17} = 72$$
$$x_{23} = 74$$
$$x_{85} = 76$$
$$x_{57} = 78$$
$$x_{5} = 80$$
$$x_{21} = 82$$
$$x_{89} = 84$$
$$x_{73} = 86$$
$$x_{51} = 88$$
$$x_{9} = 90$$
$$x_{2} = 92$$
$$x_{76} = 94$$
$$x_{80} = 96$$
$$x_{22} = 98$$
$$x_{87} = 100$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{15}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{15} - \frac{1}{10}$$
=
$$-100.1$$
=
$$-100.1$$
подставляем в выражение
$$\tanh^{2}{\left (x \right )} > 1$$
$$\tanh^{2}{\left (-100.1 \right )} > 1$$

1 > 1

но

1 = 1

Тогда
$$x < -100$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -100 \wedge x < -98$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x15      x74      x83      x52      x82      x11      x86      x42      x68      x7      x55      x10      x49      x29      x95      x27      x64      x18      x61      x92      x35      x94      x53      x28      x54      x69      x13      x12      x46      x67      x62      x66      x56      x43      x81      x31      x48      x63      x30      x4      x79      x65      x8      x26      x45      x39      x36      x78      x19      x41      x71      x97      x20      x60      x24      x44      x37      x16      x91      x75      x33      x34      x90      x1      x25      x70      x38      x88      x96      x14      x77      x50      x32      x58      x93      x84      x59      x47      x72      x3      x40      x6      x17      x23      x85      x57      x5      x21      x89      x73      x51      x9      x2      x76      x80      x22      x87

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -100 \wedge x < -98$$
$$x > -96 \wedge x < -94$$
$$x > -92 \wedge x < -90$$
$$x > -88 \wedge x < -86$$
$$x > -84 \wedge x < -82$$
$$x > -80 \wedge x < -78$$
$$x > -76 \wedge x < -74$$
$$x > -72 \wedge x < -70$$
$$x > -68 \wedge x < -66$$
$$x > -64 \wedge x < -62$$
$$x > -60 \wedge x < -58$$
$$x > -56 \wedge x < -54$$
$$x > -52 \wedge x < -50$$
$$x > -48 \wedge x < -46$$
$$x > -44 \wedge x < -42$$
$$x > -40 \wedge x < -38$$
$$x > -36 \wedge x < -34$$
$$x > -32.2038153091 \wedge x < -32$$
$$x > -31.9762459966 \wedge x < -31.7529322617$$
$$x > -31.5673076923 \wedge x < -31.3350186084$$
$$x > -30.3746613928 \wedge x < -28.3660709533$$
$$x > -26.3661315119 \wedge x < -24.3661326142$$
$$x > -22.3661325898 \wedge x < -20.3661325952$$
$$x > -18.3661328275 \wedge x < -16.3661455107$$
$$x > 14.6757793285 \wedge x < 16.6754042395$$
$$x > 18.6753973693 \wedge x < 20.6753972435$$
$$x > 22.6753972439 \wedge x < 24.6753973204$$
$$x > 26.6753908017 \wedge x < 28.6760419286$$
$$x > 30.6502781482 \wedge x < 31.7312936928$$
$$x > 31.7787220654 \wedge x < 31.8870724795$$
$$x > 32 \wedge x < 32.0000157808$$
$$x > 32.4682539683 \wedge x < 34$$
$$x > 36 \wedge x < 38$$
$$x > 40 \wedge x < 42$$
$$x > 44 \wedge x < 46$$
$$x > 48 \wedge x < 50$$
$$x > 52 \wedge x < 54$$
$$x > 56 \wedge x < 58$$
$$x > 60 \wedge x < 62$$
$$x > 64 \wedge x < 66$$
$$x > 68 \wedge x < 70$$
$$x > 72 \wedge x < 74$$
$$x > 76 \wedge x < 78$$
$$x > 80 \wedge x < 82$$
$$x > 84 \wedge x < 86$$
$$x > 88 \wedge x < 90$$
$$x > 92 \wedge x < 94$$
$$x > 96 \wedge x < 98$$
$$x > 100$$

График