cos(4*x)>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(4*x)>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(4*x) > 0

$$\cos{\left(4 x \right)} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(4 x \right)} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(4 x \right)} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$\cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$4 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$4 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
Или
$$4 x = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$4 x = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$4$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{8}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{8}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{8}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{4} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(4 x \right)} > 0$$
$$\cos{\left(4 \left(\frac{\pi n}{4} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}\right) \right)} > 0$$

    n             
(-1) *sin(2/5) > 0
    

Тогда
$$x < \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{8}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{8} \wedge x < \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{8}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /3*pi          pi\\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|---- < x, x < --||
  \   \            8 /     \ 8            2 //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{8}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{8} < x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     3*pi  pi 
[0, --) U (----, --)
    8       8    2  

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{8}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{8}, \frac{\pi}{2}\right)$$

График