cos(4*x)<1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(4*x)<1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(4*x) < 1

$$\cos{\left (4 x \right )} < 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (4 x \right )} < 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (4 x \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (4 x \right )} = 1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$4 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (1 \right )}$$
$$4 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (1 \right )}$$
Или
$$4 x = \pi n$$
$$4 x = \pi n - \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$4$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{4} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (4 x \right )} < 1$$
$$\cos{\left (4 \left(\frac{\pi n}{4} + - \frac{1}{10}\right) \right )} < 1$$

cos(-2/5 + pi*n) < 1

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{\pi n}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{\pi n}{4}$$
$$x > \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ

  /                        /           pi\\
Or|And(-oo < x, x < 0), And|0 < x, x < --||
  \                        \           2 //

$$\left(-\infty < x \wedge x < 0\right) \vee \left(0 < x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right)$$

Быстрый ответ 2

               pi 
(-oo, 0) U (0, --)
               2  

$$x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$