cos(pi/6+x)<(-sqrt(3))/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(pi/6+x)<(-sqrt(3))/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

                 ___ 
   /pi    \   -\/ 3  
cos|-- + x| < -------
   \6     /      2   

$$\cos{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} < \frac{-1 \sqrt{3}}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} < \frac{-1 \sqrt{3}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} = \frac{-1 \sqrt{3}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} = \frac{-1 \sqrt{3}}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$$
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$$
Или
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n - \frac{\pi}{6}$$
, где n - любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{6}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$x = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \frac{2 \pi}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} < \frac{-1 \sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left (\pi n + \frac{2 \pi}{3} + - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6} \right )} < \frac{-1 \sqrt{3}}{2}$$

                            ___ 
    /  1    pi       \   -\/ 3  
-sin|- -- + -- + pi*n| < -------
    \  10   3        /      2   
                         

но

                            ___ 
    /  1    pi       \   -\/ 3  
-sin|- -- + -- + pi*n| > -------
    \  10   3        /      2   
                         

Тогда
$$x < \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \pi n + \frac{2 \pi}{3} \wedge x < \pi n - \frac{\pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /2*pi            \
And|---- < x, x < pi|
   \ 3              /

$$\frac{2 \pi}{3} < x \wedge x < \pi$$

Быстрый ответ 2

 2*pi     
(----, pi)
  3       

$$x \in \left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$$

График