cos(pi*x)>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(pi*x)>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(pi*x) > 0

$$\cos{\left (\pi x \right )} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (\pi x \right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (\pi x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (\pi x \right )} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$\cos{\left (\pi x \right )} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$\pi x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$\pi x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
Или
$$\pi x = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$\pi x = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\pi$$
$$x_{1} = \frac{1}{\pi} \left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{\pi} \left(\pi n - \frac{\pi}{2}\right)$$
$$x_{1} = \frac{1}{\pi} \left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{\pi} \left(\pi n - \frac{\pi}{2}\right)$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{\pi} \left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{\pi} \left(\pi n - \frac{\pi}{2}\right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{1}{\pi} \left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{1}{\pi} \left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (\pi x \right )} > 0$$
$$\cos{\left (\pi \left(\frac{1}{\pi} \left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{10}\right) \right )} > 0$$

   /   /       pi       \\    
   |   |       -- + pi*n||    
   |   |  1    2        || > 0
cos|pi*|- -- + ---------||    
   \   \  10       pi   //    

Тогда
$$x < \frac{1}{\pi} \left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right)$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{\pi} \left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right) \wedge x < \frac{1}{\pi} \left(\pi n - \frac{\pi}{2}\right)$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

And(-oo < x, x < 1/2)

$$-\infty < x \wedge x < \frac{1}{2}$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 1/2)

$$x \in \left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$$