cos(2*x)>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(2*x)>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(2*x) >= 0

$$\cos{\left(2 x \right)} \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(2 x \right)} \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(2 x \right)} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$\cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$2 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
Или
$$2 x = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$2 x = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(2 x \right)} \geq 0$$
$$\cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}\right) \right)} \geq 0$$

    n              
(-1) *sin(1/5) >= 0
     

но

    n             
(-1) *sin(1/5) < 0
    

Тогда
$$x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /3*pi             \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x < pi||
  \   \             4 /     \ 4               //

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{4} \leq x \wedge x < \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     3*pi     
[0, --] U [----, pi)
    4       4       

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$$

График