cos(2*x)>-1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(2*x)>-1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(2*x) > -1

$$\cos{\left(2 x \right)} > -1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(2 x \right)} > -1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(2 x \right)} = -1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(2 x \right)} = -1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$2 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
Или
$$2 x = \pi n + \pi$$
$$2 x = \pi n$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(2 x \right)} > -1$$
$$\cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}\right) \right)} > -1$$

    1 + n              
(-1)     *cos(1/5) > -1
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x > \frac{\pi n}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /pi          3*pi\     /3*pi              \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|-- < x, x < ----|, And|---- < x, x < 2*pi||
  \   \            2 /     \2            2  /     \ 2                //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(\frac{\pi}{2} < x \wedge x < \frac{3 \pi}{2}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{2} < x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     pi  3*pi     3*pi       
[0, --) U (--, ----) U (----, 2*pi)
    2      2    2        2         

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$$

График