cos(2*x)<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(2*x)<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(2*x) < 0

$$\cos{\left (2 x \right )} < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (2 x \right )} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (2 x \right )} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$\cos{\left (2 x \right )} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$2 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
Или
$$2 x = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$2 x = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (2 x \right )} < 0$$
$$\cos{\left (2 \left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4} + - \frac{1}{10}\right) \right )} < 0$$

-sin(-1/5 + pi*n) < 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x > \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ

  /   /pi          3*pi\     /3*pi            \\
Or|And|-- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
  \   \4            4  /     \ 4              //

$$\left(\frac{\pi}{4} < x \wedge x < \frac{3 \pi}{4}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{4} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

 pi  3*pi     3*pi     
(--, ----) U (----, oo)
 4    4        4       

$$x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$

График