cos(cos(x))<1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(cos(x))<1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(cos(x)) < 1/2

$$\cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} < \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} < \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \frac{1}{2} = 0$$
$$\cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = 1/2
делаем обратную замену
$$\cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi - \operatorname{acos}{\left (\frac{\pi}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi - \operatorname{acos}{\left (\frac{5 \pi}{3} \right )}$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left (\frac{\pi}{3} \right )}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left (\frac{5 \pi}{3} \right )}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

$$\cos{\left (\cos{\left (0 \right )} \right )} < \frac{1}{2}$$

cos(1) < 1/2

но

cos(1) > 1/2

зн. неравенство не имеет решений

Быстрый ответ

Данное неравенство не имеет решений