cos(0.5*x)>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(0.5*x)>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   /x\    
cos|-| > 0
   \2/    

$$\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
Или
$$\frac{x}{2} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \pi + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \pi$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} > 0$$
$$\cos{\left (\frac{1}{2} \left(2 \pi n + \pi + - \frac{1}{10}\right) \right )} > 0$$

-sin(-1/20 + pi*n) > 0

Тогда
$$x < 2 \pi n + \pi$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n + \pi \wedge x < 2 \pi n - \pi$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

And(-oo < x, x < pi)

$$-\infty < x \wedge x < \pi$$

Быстрый ответ 2

(-oo, pi)

$$x \in \left(-\infty, \pi\right)$$