cos(7*x)>=0 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: cos(7*x)>=0 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\cos{\left (7 x \right )} \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (7 x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (7 x \right )} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
с изменением знака при 0
Получим:
$$\cos{\left (7 x \right )} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$7 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$7 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
Или
$$7 x = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$7 x = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$7$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{7} + \frac{\pi}{14}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{7} - \frac{\pi}{14}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{7} + \frac{\pi}{14}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{7} - \frac{\pi}{14}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{7} + \frac{\pi}{14}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{7} - \frac{\pi}{14}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{7} + \frac{\pi}{14} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{7} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{14}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (7 x \right )} \geq 0$$
$$\cos{\left (7 \left(\frac{\pi n}{7} + \frac{\pi}{14} + - \frac{1}{10}\right) \right )} \geq 0$$
-sin(-7/10 + pi*n) >= 0
но
-sin(-7/10 + pi*n) < 0
Тогда
$$x \leq \frac{\pi n}{7} + \frac{\pi}{14}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{\pi n}{7} + \frac{\pi}{14} \wedge x \leq \frac{\pi n}{7} - \frac{\pi}{14}$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x1 x2
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ
[src]
/ / pi \ 3*pi\ Or|And|x <= --, -oo < x|, x = ----| \ \ 14 / 14 /
Быстрый ответ 2
[src]
pi 3*pi
(-oo, --] U {----}
14 14