cos(t)>2/3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(t)>2/3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(t) > 2/3

$$\cos{\left(t \right)} > \frac{2}{3}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (t \right )} > \frac{2}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (t \right )} = \frac{2}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (t \right )} = \frac{2}{3}$$
преобразуем
$$\cos{\left (t \right )} - \frac{2}{3} = 0$$
$$\cos{\left (t \right )} - \frac{2}{3} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (t \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{2}{3}$$
Получим ответ: w = 2/3
делаем обратную замену
$$\cos{\left (t \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 43.1412284797$$
$$x_{2} = 32.2569952065$$
$$x_{3} = -11.7253019438$$
$$x_{4} = 19.6906245921$$
$$x_{5} = -95.0888482783$$
$$x_{6} = -87.1235256299$$
$$x_{7} = 7.12425397775$$
$$x_{8} = -76.2392923567$$
$$x_{9} = 57.3897364352$$
$$x_{10} = 44.8233658208$$
$$x_{11} = -80.8403403228$$
$$x_{12} = -49.4244137869$$
$$x_{13} = 93.4067109371$$
$$x_{14} = 49.4244137869$$
$$x_{15} = 68.2739697084$$
$$x_{16} = -0.841068670568$$
$$x_{17} = 5.44211663661$$
$$x_{18} = -61.9907844012$$
$$x_{19} = 87.1235256299$$
$$x_{20} = -69.9561070495$$
$$x_{21} = 95.0888482783$$
$$x_{22} = 18.008487251$$
$$x_{23} = -51.106551128$$
$$x_{24} = -32.2569952065$$
$$x_{25} = 63.6729217424$$
$$x_{26} = -57.3897364352$$
$$x_{27} = 24.2916725582$$
$$x_{28} = 88.8056629711$$
$$x_{29} = -43.1412284797$$
$$x_{30} = -63.6729217424$$
$$x_{31} = -30.5748578653$$
$$x_{32} = 55.707599094$$
$$x_{33} = -174968.702318$$
$$x_{34} = -44.8233658208$$
$$x_{35} = -91306.4078153$$
$$x_{36} = -55.707599094$$
$$x_{37} = -36.8580431725$$
$$x_{38} = 80.8403403228$$
$$x_{39} = 69.9561070495$$
$$x_{40} = -93.4067109371$$
$$x_{41} = -82.5224776639$$
$$x_{42} = 13.4074392849$$
$$x_{43} = 99.6898962443$$
$$x_{44} = 25.9738098993$$
$$x_{45} = -18.008487251$$
$$x_{46} = -68.2739697084$$
$$x_{47} = 82.5224776639$$
$$x_{48} = 36.8580431725$$
$$x_{49} = -88.8056629711$$
$$x_{50} = 0.841068670568$$
$$x_{51} = 74.5571550156$$
$$x_{52} = 38.5401805136$$
$$x_{53} = -24.2916725582$$
$$x_{54} = -13.4074392849$$
$$x_{55} = -99.6898962443$$
$$x_{56} = 11.7253019438$$
$$x_{57} = 61.9907844012$$
$$x_{58} = -38.5401805136$$
$$x_{59} = 51.106551128$$
$$x_{60} = -74.5571550156$$
$$x_{61} = -5.44211663661$$
$$x_{62} = 30.5748578653$$
$$x_{63} = -101.372033585$$
$$x_{64} = 76.2392923567$$
$$x_{65} = -19.6906245921$$
$$x_{66} = -7.12425397775$$
$$x_{67} = -25.9738098993$$
$$x_{1} = 43.1412284797$$
$$x_{2} = 32.2569952065$$
$$x_{3} = -11.7253019438$$
$$x_{4} = 19.6906245921$$
$$x_{5} = -95.0888482783$$
$$x_{6} = -87.1235256299$$
$$x_{7} = 7.12425397775$$
$$x_{8} = -76.2392923567$$
$$x_{9} = 57.3897364352$$
$$x_{10} = 44.8233658208$$
$$x_{11} = -80.8403403228$$
$$x_{12} = -49.4244137869$$
$$x_{13} = 93.4067109371$$
$$x_{14} = 49.4244137869$$
$$x_{15} = 68.2739697084$$
$$x_{16} = -0.841068670568$$
$$x_{17} = 5.44211663661$$
$$x_{18} = -61.9907844012$$
$$x_{19} = 87.1235256299$$
$$x_{20} = -69.9561070495$$
$$x_{21} = 95.0888482783$$
$$x_{22} = 18.008487251$$
$$x_{23} = -51.106551128$$
$$x_{24} = -32.2569952065$$
$$x_{25} = 63.6729217424$$
$$x_{26} = -57.3897364352$$
$$x_{27} = 24.2916725582$$
$$x_{28} = 88.8056629711$$
$$x_{29} = -43.1412284797$$
$$x_{30} = -63.6729217424$$
$$x_{31} = -30.5748578653$$
$$x_{32} = 55.707599094$$
$$x_{33} = -174968.702318$$
$$x_{34} = -44.8233658208$$
$$x_{35} = -91306.4078153$$
$$x_{36} = -55.707599094$$
$$x_{37} = -36.8580431725$$
$$x_{38} = 80.8403403228$$
$$x_{39} = 69.9561070495$$
$$x_{40} = -93.4067109371$$
$$x_{41} = -82.5224776639$$
$$x_{42} = 13.4074392849$$
$$x_{43} = 99.6898962443$$
$$x_{44} = 25.9738098993$$
$$x_{45} = -18.008487251$$
$$x_{46} = -68.2739697084$$
$$x_{47} = 82.5224776639$$
$$x_{48} = 36.8580431725$$
$$x_{49} = -88.8056629711$$
$$x_{50} = 0.841068670568$$
$$x_{51} = 74.5571550156$$
$$x_{52} = 38.5401805136$$
$$x_{53} = -24.2916725582$$
$$x_{54} = -13.4074392849$$
$$x_{55} = -99.6898962443$$
$$x_{56} = 11.7253019438$$
$$x_{57} = 61.9907844012$$
$$x_{58} = -38.5401805136$$
$$x_{59} = 51.106551128$$
$$x_{60} = -74.5571550156$$
$$x_{61} = -5.44211663661$$
$$x_{62} = 30.5748578653$$
$$x_{63} = -101.372033585$$
$$x_{64} = 76.2392923567$$
$$x_{65} = -19.6906245921$$
$$x_{66} = -7.12425397775$$
$$x_{67} = -25.9738098993$$
Данные корни
$$x_{33} = -174968.702318$$
$$x_{35} = -91306.4078153$$
$$x_{63} = -101.372033585$$
$$x_{55} = -99.6898962443$$
$$x_{5} = -95.0888482783$$
$$x_{40} = -93.4067109371$$
$$x_{49} = -88.8056629711$$
$$x_{6} = -87.1235256299$$
$$x_{41} = -82.5224776639$$
$$x_{11} = -80.8403403228$$
$$x_{8} = -76.2392923567$$
$$x_{60} = -74.5571550156$$
$$x_{20} = -69.9561070495$$
$$x_{46} = -68.2739697084$$
$$x_{30} = -63.6729217424$$
$$x_{18} = -61.9907844012$$
$$x_{26} = -57.3897364352$$
$$x_{36} = -55.707599094$$
$$x_{23} = -51.106551128$$
$$x_{12} = -49.4244137869$$
$$x_{34} = -44.8233658208$$
$$x_{29} = -43.1412284797$$
$$x_{58} = -38.5401805136$$
$$x_{37} = -36.8580431725$$
$$x_{24} = -32.2569952065$$
$$x_{31} = -30.5748578653$$
$$x_{67} = -25.9738098993$$
$$x_{53} = -24.2916725582$$
$$x_{65} = -19.6906245921$$
$$x_{45} = -18.008487251$$
$$x_{54} = -13.4074392849$$
$$x_{3} = -11.7253019438$$
$$x_{66} = -7.12425397775$$
$$x_{61} = -5.44211663661$$
$$x_{16} = -0.841068670568$$
$$x_{50} = 0.841068670568$$
$$x_{17} = 5.44211663661$$
$$x_{7} = 7.12425397775$$
$$x_{56} = 11.7253019438$$
$$x_{42} = 13.4074392849$$
$$x_{22} = 18.008487251$$
$$x_{4} = 19.6906245921$$
$$x_{27} = 24.2916725582$$
$$x_{44} = 25.9738098993$$
$$x_{62} = 30.5748578653$$
$$x_{2} = 32.2569952065$$
$$x_{48} = 36.8580431725$$
$$x_{52} = 38.5401805136$$
$$x_{1} = 43.1412284797$$
$$x_{10} = 44.8233658208$$
$$x_{14} = 49.4244137869$$
$$x_{59} = 51.106551128$$
$$x_{32} = 55.707599094$$
$$x_{9} = 57.3897364352$$
$$x_{57} = 61.9907844012$$
$$x_{25} = 63.6729217424$$
$$x_{15} = 68.2739697084$$
$$x_{39} = 69.9561070495$$
$$x_{51} = 74.5571550156$$
$$x_{64} = 76.2392923567$$
$$x_{38} = 80.8403403228$$
$$x_{47} = 82.5224776639$$
$$x_{19} = 87.1235256299$$
$$x_{28} = 88.8056629711$$
$$x_{13} = 93.4067109371$$
$$x_{21} = 95.0888482783$$
$$x_{43} = 99.6898962443$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{33}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{33} - \frac{1}{10}$$
=
$$-174968.802318$$
=
$$-174968.802318$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (t \right )} > \frac{2}{3}$$
$$\cos{\left (t \right )} > \frac{2}{3}$$

cos(t) > 2/3

Тогда
$$x < -174968.702318$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -174968.702318 \wedge x < -91306.4078153$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x33      x35      x63      x55      x5      x40      x49      x6      x41      x11      x8      x60      x20      x46      x30      x18      x26      x36      x23      x12      x34      x29      x58      x37      x24      x31      x67      x53      x65      x45      x54      x3      x66      x61      x16      x50      x17      x7      x56      x42      x22      x4      x27      x44      x62      x2      x48      x52      x1      x10      x14      x59      x32      x9      x57      x25      x15      x39      x51      x64      x38      x47      x19      x28      x13      x21      x43

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -174968.702318 \wedge x < -91306.4078153$$
$$x > -101.372033585 \wedge x < -99.6898962443$$
$$x > -95.0888482783 \wedge x < -93.4067109371$$
$$x > -88.8056629711 \wedge x < -87.1235256299$$
$$x > -82.5224776639 \wedge x < -80.8403403228$$
$$x > -76.2392923567 \wedge x < -74.5571550156$$
$$x > -69.9561070495 \wedge x < -68.2739697084$$
$$x > -63.6729217424 \wedge x < -61.9907844012$$
$$x > -57.3897364352 \wedge x < -55.707599094$$
$$x > -51.106551128 \wedge x < -49.4244137869$$
$$x > -44.8233658208 \wedge x < -43.1412284797$$
$$x > -38.5401805136 \wedge x < -36.8580431725$$
$$x > -32.2569952065 \wedge x < -30.5748578653$$
$$x > -25.9738098993 \wedge x < -24.2916725582$$
$$x > -19.6906245921 \wedge x < -18.008487251$$
$$x > -13.4074392849 \wedge x < -11.7253019438$$
$$x > -7.12425397775 \wedge x < -5.44211663661$$
$$x > -0.841068670568 \wedge x < 0.841068670568$$
$$x > 5.44211663661 \wedge x < 7.12425397775$$
$$x > 11.7253019438 \wedge x < 13.4074392849$$
$$x > 18.008487251 \wedge x < 19.6906245921$$
$$x > 24.2916725582 \wedge x < 25.9738098993$$
$$x > 30.5748578653 \wedge x < 32.2569952065$$
$$x > 36.8580431725 \wedge x < 38.5401805136$$
$$x > 43.1412284797 \wedge x < 44.8233658208$$
$$x > 49.4244137869 \wedge x < 51.106551128$$
$$x > 55.707599094 \wedge x < 57.3897364352$$
$$x > 61.9907844012 \wedge x < 63.6729217424$$
$$x > 68.2739697084 \wedge x < 69.9561070495$$
$$x > 74.5571550156 \wedge x < 76.2392923567$$
$$x > 80.8403403228 \wedge x < 82.5224776639$$
$$x > 87.1235256299 \wedge x < 88.8056629711$$
$$x > 93.4067109371 \wedge x < 95.0888482783$$
$$x > 99.6898962443$$

Быстрый ответ

  /   /                /  ___\\     /                /  ___\           \\
  |   |                |\/ 5 ||     |                |\/ 5 |           ||
Or|And|0 <= t, t < atan|-----||, And|t < 2*pi, - atan|-----| + 2*pi < t||
  \   \                \  2  //     \                \  2  /           //

$$\left(0 \leq t \wedge t < \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}\right) \vee \left(t < 2 \pi \wedge - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + 2 \pi < t\right)$$

Быстрый ответ 2

        /  ___\           /  ___\              
        |\/ 5 |           |\/ 5 |              
[0, atan|-----|) U (- atan|-----| + 2*pi, 2*pi)
        \  2  /           \  2  /              

$$x\ in\ \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}\right) \cup \left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + 2 \pi, 2 \pi\right)$$