cos(t)>-1/4 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(t)>-1/4 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(t) > -1/4

$$\cos{\left(t \right)} > - \frac{1}{4}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (t \right )} > - \frac{1}{4}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (t \right )} = - \frac{1}{4}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (t \right )} = - \frac{1}{4}$$
преобразуем
$$\cos{\left (t \right )} + \frac{1}{4} = 0$$
$$\cos{\left (t \right )} + \frac{1}{4} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (t \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = - \frac{1}{4}$$
Получим ответ: w = -1/4
делаем обратную замену
$$\cos{\left (t \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -23.3092646468$$
$$x_{2} = 89.7880708825$$
$$x_{3} = 23.3092646468$$
$$x_{4} = 45.8057737322$$
$$x_{5} = -64.6553296537$$
$$x_{6} = -45.8057737322$$
$$x_{7} = 73.5747471042$$
$$x_{8} = -83.5048855753$$
$$x_{9} = -70.9385149609$$
$$x_{10} = -54.7251911827$$
$$x_{11} = 52.0889590394$$
$$x_{12} = -35.8756352611$$
$$x_{13} = -86.1411177186$$
$$x_{14} = 79.8579324114$$
$$x_{15} = -89.7880708825$$
$$x_{16} = 64.6553296537$$
$$x_{17} = 54.7251911827$$
$$x_{18} = 67.291561797$$
$$x_{19} = 42.1588205683$$
$$x_{20} = 8.10666188912$$
$$x_{21} = 33.2394031178$$
$$x_{22} = -61.0083764899$$
$$x_{23} = 20.6730325035$$
$$x_{24} = 10.7428940324$$
$$x_{25} = 35.8756352611$$
$$x_{26} = 96.0712561896$$
$$x_{27} = 61.0083764899$$
$$x_{28} = 48.4420058755$$
$$x_{29} = 83.5048855753$$
$$x_{30} = 29.592449954$$
$$x_{31} = -98.7074883329$$
$$x_{32} = -52.0889590394$$
$$x_{33} = -42.1588205683$$
$$x_{34} = 86.1411177186$$
$$x_{35} = -92.4243030258$$
$$x_{36} = -67.291561797$$
$$x_{37} = -10.7428940324$$
$$x_{38} = -77.2217002681$$
$$x_{39} = 14.3898471963$$
$$x_{40} = 70.9385149609$$
$$x_{41} = 98.7074883329$$
$$x_{42} = -39.522588425$$
$$x_{43} = -48.4420058755$$
$$x_{44} = -79.8579324114$$
$$x_{45} = 4.45970872524$$
$$x_{46} = -1.82347658194$$
$$x_{47} = -33.2394031178$$
$$x_{48} = -58.3721443466$$
$$x_{49} = -14.3898471963$$
$$x_{50} = 26.9562178107$$
$$x_{51} = -29.592449954$$
$$x_{52} = -20.6730325035$$
$$x_{53} = -73.5747471042$$
$$x_{54} = -4.45970872524$$
$$x_{55} = 92.4243030258$$
$$x_{56} = 17.0260793396$$
$$x_{57} = 1.82347658194$$
$$x_{58} = -8.10666188912$$
$$x_{59} = -17.0260793396$$
$$x_{60} = 77.2217002681$$
$$x_{61} = -26.9562178107$$
$$x_{62} = 58.3721443466$$
$$x_{63} = 39.522588425$$
$$x_{64} = -96.0712561896$$
$$x_{1} = -23.3092646468$$
$$x_{2} = 89.7880708825$$
$$x_{3} = 23.3092646468$$
$$x_{4} = 45.8057737322$$
$$x_{5} = -64.6553296537$$
$$x_{6} = -45.8057737322$$
$$x_{7} = 73.5747471042$$
$$x_{8} = -83.5048855753$$
$$x_{9} = -70.9385149609$$
$$x_{10} = -54.7251911827$$
$$x_{11} = 52.0889590394$$
$$x_{12} = -35.8756352611$$
$$x_{13} = -86.1411177186$$
$$x_{14} = 79.8579324114$$
$$x_{15} = -89.7880708825$$
$$x_{16} = 64.6553296537$$
$$x_{17} = 54.7251911827$$
$$x_{18} = 67.291561797$$
$$x_{19} = 42.1588205683$$
$$x_{20} = 8.10666188912$$
$$x_{21} = 33.2394031178$$
$$x_{22} = -61.0083764899$$
$$x_{23} = 20.6730325035$$
$$x_{24} = 10.7428940324$$
$$x_{25} = 35.8756352611$$
$$x_{26} = 96.0712561896$$
$$x_{27} = 61.0083764899$$
$$x_{28} = 48.4420058755$$
$$x_{29} = 83.5048855753$$
$$x_{30} = 29.592449954$$
$$x_{31} = -98.7074883329$$
$$x_{32} = -52.0889590394$$
$$x_{33} = -42.1588205683$$
$$x_{34} = 86.1411177186$$
$$x_{35} = -92.4243030258$$
$$x_{36} = -67.291561797$$
$$x_{37} = -10.7428940324$$
$$x_{38} = -77.2217002681$$
$$x_{39} = 14.3898471963$$
$$x_{40} = 70.9385149609$$
$$x_{41} = 98.7074883329$$
$$x_{42} = -39.522588425$$
$$x_{43} = -48.4420058755$$
$$x_{44} = -79.8579324114$$
$$x_{45} = 4.45970872524$$
$$x_{46} = -1.82347658194$$
$$x_{47} = -33.2394031178$$
$$x_{48} = -58.3721443466$$
$$x_{49} = -14.3898471963$$
$$x_{50} = 26.9562178107$$
$$x_{51} = -29.592449954$$
$$x_{52} = -20.6730325035$$
$$x_{53} = -73.5747471042$$
$$x_{54} = -4.45970872524$$
$$x_{55} = 92.4243030258$$
$$x_{56} = 17.0260793396$$
$$x_{57} = 1.82347658194$$
$$x_{58} = -8.10666188912$$
$$x_{59} = -17.0260793396$$
$$x_{60} = 77.2217002681$$
$$x_{61} = -26.9562178107$$
$$x_{62} = 58.3721443466$$
$$x_{63} = 39.522588425$$
$$x_{64} = -96.0712561896$$
Данные корни
$$x_{31} = -98.7074883329$$
$$x_{64} = -96.0712561896$$
$$x_{35} = -92.4243030258$$
$$x_{15} = -89.7880708825$$
$$x_{13} = -86.1411177186$$
$$x_{8} = -83.5048855753$$
$$x_{44} = -79.8579324114$$
$$x_{38} = -77.2217002681$$
$$x_{53} = -73.5747471042$$
$$x_{9} = -70.9385149609$$
$$x_{36} = -67.291561797$$
$$x_{5} = -64.6553296537$$
$$x_{22} = -61.0083764899$$
$$x_{48} = -58.3721443466$$
$$x_{10} = -54.7251911827$$
$$x_{32} = -52.0889590394$$
$$x_{43} = -48.4420058755$$
$$x_{6} = -45.8057737322$$
$$x_{33} = -42.1588205683$$
$$x_{42} = -39.522588425$$
$$x_{12} = -35.8756352611$$
$$x_{47} = -33.2394031178$$
$$x_{51} = -29.592449954$$
$$x_{61} = -26.9562178107$$
$$x_{1} = -23.3092646468$$
$$x_{52} = -20.6730325035$$
$$x_{59} = -17.0260793396$$
$$x_{49} = -14.3898471963$$
$$x_{37} = -10.7428940324$$
$$x_{58} = -8.10666188912$$
$$x_{54} = -4.45970872524$$
$$x_{46} = -1.82347658194$$
$$x_{57} = 1.82347658194$$
$$x_{45} = 4.45970872524$$
$$x_{20} = 8.10666188912$$
$$x_{24} = 10.7428940324$$
$$x_{39} = 14.3898471963$$
$$x_{56} = 17.0260793396$$
$$x_{23} = 20.6730325035$$
$$x_{3} = 23.3092646468$$
$$x_{50} = 26.9562178107$$
$$x_{30} = 29.592449954$$
$$x_{21} = 33.2394031178$$
$$x_{25} = 35.8756352611$$
$$x_{63} = 39.522588425$$
$$x_{19} = 42.1588205683$$
$$x_{4} = 45.8057737322$$
$$x_{28} = 48.4420058755$$
$$x_{11} = 52.0889590394$$
$$x_{17} = 54.7251911827$$
$$x_{62} = 58.3721443466$$
$$x_{27} = 61.0083764899$$
$$x_{16} = 64.6553296537$$
$$x_{18} = 67.291561797$$
$$x_{40} = 70.9385149609$$
$$x_{7} = 73.5747471042$$
$$x_{60} = 77.2217002681$$
$$x_{14} = 79.8579324114$$
$$x_{29} = 83.5048855753$$
$$x_{34} = 86.1411177186$$
$$x_{2} = 89.7880708825$$
$$x_{55} = 92.4243030258$$
$$x_{26} = 96.0712561896$$
$$x_{41} = 98.7074883329$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{31}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{31} - \frac{1}{10}$$
=
$$-98.8074883329$$
=
$$-98.8074883329$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (t \right )} > - \frac{1}{4}$$
$$\cos{\left (t \right )} > - \frac{1}{4}$$

cos(t) > -1/4

Тогда
$$x < -98.7074883329$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -98.7074883329 \wedge x < -96.0712561896$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x31      x64      x35      x15      x13      x8      x44      x38      x53      x9      x36      x5      x22      x48      x10      x32      x43      x6      x33      x42      x12      x47      x51      x61      x1      x52      x59      x49      x37      x58      x54      x46      x57      x45      x20      x24      x39      x56      x23      x3      x50      x30      x21      x25      x63      x19      x4      x28      x11      x17      x62      x27      x16      x18      x40      x7      x60      x14      x29      x34      x2      x55      x26      x41

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -98.7074883329 \wedge x < -96.0712561896$$
$$x > -92.4243030258 \wedge x < -89.7880708825$$
$$x > -86.1411177186 \wedge x < -83.5048855753$$
$$x > -79.8579324114 \wedge x < -77.2217002681$$
$$x > -73.5747471042 \wedge x < -70.9385149609$$
$$x > -67.291561797 \wedge x < -64.6553296537$$
$$x > -61.0083764899 \wedge x < -58.3721443466$$
$$x > -54.7251911827 \wedge x < -52.0889590394$$
$$x > -48.4420058755 \wedge x < -45.8057737322$$
$$x > -42.1588205683 \wedge x < -39.522588425$$
$$x > -35.8756352611 \wedge x < -33.2394031178$$
$$x > -29.592449954 \wedge x < -26.9562178107$$
$$x > -23.3092646468 \wedge x < -20.6730325035$$
$$x > -17.0260793396 \wedge x < -14.3898471963$$
$$x > -10.7428940324 \wedge x < -8.10666188912$$
$$x > -4.45970872524 \wedge x < -1.82347658194$$
$$x > 1.82347658194 \wedge x < 4.45970872524$$
$$x > 8.10666188912 \wedge x < 10.7428940324$$
$$x > 14.3898471963 \wedge x < 17.0260793396$$
$$x > 20.6730325035 \wedge x < 23.3092646468$$
$$x > 26.9562178107 \wedge x < 29.592449954$$
$$x > 33.2394031178 \wedge x < 35.8756352611$$
$$x > 39.522588425 \wedge x < 42.1588205683$$
$$x > 45.8057737322 \wedge x < 48.4420058755$$
$$x > 52.0889590394 \wedge x < 54.7251911827$$
$$x > 58.3721443466 \wedge x < 61.0083764899$$
$$x > 64.6553296537 \wedge x < 67.291561797$$
$$x > 70.9385149609 \wedge x < 73.5747471042$$
$$x > 77.2217002681 \wedge x < 79.8579324114$$
$$x > 83.5048855753 \wedge x < 86.1411177186$$
$$x > 89.7880708825 \wedge x < 92.4243030258$$
$$x > 96.0712561896 \wedge x < 98.7074883329$$

Быстрый ответ

  /   /                     /  ____\\     /                   /  ____\    \\
Or\And\0 <= t, t < pi - atan\\/ 15 //, And\t < 2*pi, pi + atan\\/ 15 / < t//

$$\left(0 \leq t \wedge t < \pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}\right) \vee \left(t < 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)} + \pi < t\right)$$

Быстрый ответ 2

             /  ____\              /  ____\       
[0, pi - atan\\/ 15 /) U (pi + atan\\/ 15 /, 2*pi)

$$x\ in\ \left[0, \pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}\right) \cup \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)} + \pi, 2 \pi\right)$$