cos(t)>-1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(t)>-1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(t) > -1/2

$$\cos{\left(t \right)} > - \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (t \right )} > - \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (t \right )} = - \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (t \right )} = - \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\cos{\left (t \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
$$\cos{\left (t \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (t \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = - \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = -1/2
делаем обратную замену
$$\cos{\left (t \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -67.0206432766$$
$$x_{2} = 630.41292582$$
$$x_{3} = -14.6607657168$$
$$x_{4} = -1623.15620435$$
$$x_{5} = -20.9439510239$$
$$x_{6} = -16.7551608191$$
$$x_{7} = 29.3215314335$$
$$x_{8} = 98.4365698125$$
$$x_{9} = -10.471975512$$
$$x_{10} = 71.2094334814$$
$$x_{11} = -8.37758040957$$
$$x_{12} = 48.171087355$$
$$x_{13} = 58.643062867$$
$$x_{14} = 416.784625376$$
$$x_{15} = 10.471975512$$
$$x_{16} = 20.9439510239$$
$$x_{17} = -29.3215314335$$
$$x_{18} = 27.2271363311$$
$$x_{19} = -60.7374579694$$
$$x_{20} = 14.6607657168$$
$$x_{21} = 23.0383461263$$
$$x_{22} = -83.7758040957$$
$$x_{23} = -41.8879020479$$
$$x_{24} = -64.9262481742$$
$$x_{25} = -71.2094334814$$
$$x_{26} = 60.7374579694$$
$$x_{27} = -77.4926187885$$
$$x_{28} = 117.286125734$$
$$x_{29} = 8.37758040957$$
$$x_{30} = 92.1533845053$$
$$x_{31} = 2.09439510239$$
$$x_{32} = 35.6047167407$$
$$x_{33} = -79.5870138909$$
$$x_{34} = -85.8701991981$$
$$x_{35} = 4.18879020479$$
$$x_{36} = 67.0206432766$$
$$x_{37} = 54.4542726622$$
$$x_{38} = 46.0766922527$$
$$x_{39} = -2.09439510239$$
$$x_{40} = 41.8879020479$$
$$x_{41} = -27.2271363311$$
$$x_{42} = 90.0589894029$$
$$x_{43} = -33.5103216383$$
$$x_{44} = -52.3598775598$$
$$x_{45} = 39.7935069455$$
$$x_{46} = -73.3038285838$$
$$x_{47} = -23.0383461263$$
$$x_{48} = 77.4926187885$$
$$x_{49} = -96.3421747101$$
$$x_{50} = 73.3038285838$$
$$x_{51} = -48.171087355$$
$$x_{52} = 64.9262481742$$
$$x_{53} = -92.1533845053$$
$$x_{54} = -46.0766922527$$
$$x_{55} = -35.6047167407$$
$$x_{56} = 79.5870138909$$
$$x_{57} = 85.8701991981$$
$$x_{58} = 96.3421747101$$
$$x_{59} = -98.4365698125$$
$$x_{60} = -39.7935069455$$
$$x_{61} = -54.4542726622$$
$$x_{62} = 83.7758040957$$
$$x_{63} = 16.7551608191$$
$$x_{64} = 33.5103216383$$
$$x_{65} = -90.0589894029$$
$$x_{66} = -58.643062867$$
$$x_{67} = -4.18879020479$$
$$x_{68} = 52.3598775598$$
$$x_{1} = -67.0206432766$$
$$x_{2} = 630.41292582$$
$$x_{3} = -14.6607657168$$
$$x_{4} = -1623.15620435$$
$$x_{5} = -20.9439510239$$
$$x_{6} = -16.7551608191$$
$$x_{7} = 29.3215314335$$
$$x_{8} = 98.4365698125$$
$$x_{9} = -10.471975512$$
$$x_{10} = 71.2094334814$$
$$x_{11} = -8.37758040957$$
$$x_{12} = 48.171087355$$
$$x_{13} = 58.643062867$$
$$x_{14} = 416.784625376$$
$$x_{15} = 10.471975512$$
$$x_{16} = 20.9439510239$$
$$x_{17} = -29.3215314335$$
$$x_{18} = 27.2271363311$$
$$x_{19} = -60.7374579694$$
$$x_{20} = 14.6607657168$$
$$x_{21} = 23.0383461263$$
$$x_{22} = -83.7758040957$$
$$x_{23} = -41.8879020479$$
$$x_{24} = -64.9262481742$$
$$x_{25} = -71.2094334814$$
$$x_{26} = 60.7374579694$$
$$x_{27} = -77.4926187885$$
$$x_{28} = 117.286125734$$
$$x_{29} = 8.37758040957$$
$$x_{30} = 92.1533845053$$
$$x_{31} = 2.09439510239$$
$$x_{32} = 35.6047167407$$
$$x_{33} = -79.5870138909$$
$$x_{34} = -85.8701991981$$
$$x_{35} = 4.18879020479$$
$$x_{36} = 67.0206432766$$
$$x_{37} = 54.4542726622$$
$$x_{38} = 46.0766922527$$
$$x_{39} = -2.09439510239$$
$$x_{40} = 41.8879020479$$
$$x_{41} = -27.2271363311$$
$$x_{42} = 90.0589894029$$
$$x_{43} = -33.5103216383$$
$$x_{44} = -52.3598775598$$
$$x_{45} = 39.7935069455$$
$$x_{46} = -73.3038285838$$
$$x_{47} = -23.0383461263$$
$$x_{48} = 77.4926187885$$
$$x_{49} = -96.3421747101$$
$$x_{50} = 73.3038285838$$
$$x_{51} = -48.171087355$$
$$x_{52} = 64.9262481742$$
$$x_{53} = -92.1533845053$$
$$x_{54} = -46.0766922527$$
$$x_{55} = -35.6047167407$$
$$x_{56} = 79.5870138909$$
$$x_{57} = 85.8701991981$$
$$x_{58} = 96.3421747101$$
$$x_{59} = -98.4365698125$$
$$x_{60} = -39.7935069455$$
$$x_{61} = -54.4542726622$$
$$x_{62} = 83.7758040957$$
$$x_{63} = 16.7551608191$$
$$x_{64} = 33.5103216383$$
$$x_{65} = -90.0589894029$$
$$x_{66} = -58.643062867$$
$$x_{67} = -4.18879020479$$
$$x_{68} = 52.3598775598$$
Данные корни
$$x_{4} = -1623.15620435$$
$$x_{59} = -98.4365698125$$
$$x_{49} = -96.3421747101$$
$$x_{53} = -92.1533845053$$
$$x_{65} = -90.0589894029$$
$$x_{34} = -85.8701991981$$
$$x_{22} = -83.7758040957$$
$$x_{33} = -79.5870138909$$
$$x_{27} = -77.4926187885$$
$$x_{46} = -73.3038285838$$
$$x_{25} = -71.2094334814$$
$$x_{1} = -67.0206432766$$
$$x_{24} = -64.9262481742$$
$$x_{19} = -60.7374579694$$
$$x_{66} = -58.643062867$$
$$x_{61} = -54.4542726622$$
$$x_{44} = -52.3598775598$$
$$x_{51} = -48.171087355$$
$$x_{54} = -46.0766922527$$
$$x_{23} = -41.8879020479$$
$$x_{60} = -39.7935069455$$
$$x_{55} = -35.6047167407$$
$$x_{43} = -33.5103216383$$
$$x_{17} = -29.3215314335$$
$$x_{41} = -27.2271363311$$
$$x_{47} = -23.0383461263$$
$$x_{5} = -20.9439510239$$
$$x_{6} = -16.7551608191$$
$$x_{3} = -14.6607657168$$
$$x_{9} = -10.471975512$$
$$x_{11} = -8.37758040957$$
$$x_{67} = -4.18879020479$$
$$x_{39} = -2.09439510239$$
$$x_{31} = 2.09439510239$$
$$x_{35} = 4.18879020479$$
$$x_{29} = 8.37758040957$$
$$x_{15} = 10.471975512$$
$$x_{20} = 14.6607657168$$
$$x_{63} = 16.7551608191$$
$$x_{16} = 20.9439510239$$
$$x_{21} = 23.0383461263$$
$$x_{18} = 27.2271363311$$
$$x_{7} = 29.3215314335$$
$$x_{64} = 33.5103216383$$
$$x_{32} = 35.6047167407$$
$$x_{45} = 39.7935069455$$
$$x_{40} = 41.8879020479$$
$$x_{38} = 46.0766922527$$
$$x_{12} = 48.171087355$$
$$x_{68} = 52.3598775598$$
$$x_{37} = 54.4542726622$$
$$x_{13} = 58.643062867$$
$$x_{26} = 60.7374579694$$
$$x_{52} = 64.9262481742$$
$$x_{36} = 67.0206432766$$
$$x_{10} = 71.2094334814$$
$$x_{50} = 73.3038285838$$
$$x_{48} = 77.4926187885$$
$$x_{56} = 79.5870138909$$
$$x_{62} = 83.7758040957$$
$$x_{57} = 85.8701991981$$
$$x_{42} = 90.0589894029$$
$$x_{30} = 92.1533845053$$
$$x_{58} = 96.3421747101$$
$$x_{8} = 98.4365698125$$
$$x_{28} = 117.286125734$$
$$x_{14} = 416.784625376$$
$$x_{2} = 630.41292582$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{4}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1623.25620435$$
=
$$-1623.25620435$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (t \right )} > - \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left (t \right )} > - \frac{1}{2}$$

cos(t) > -1/2

Тогда
$$x < -1623.15620435$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1623.15620435 \wedge x < -98.4365698125$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x4      x59      x49      x53      x65      x34      x22      x33      x27      x46      x25      x1      x24      x19      x66      x61      x44      x51      x54      x23      x60      x55      x43      x17      x41      x47      x5      x6      x3      x9      x11      x67      x39      x31      x35      x29      x15      x20      x63      x16      x21      x18      x7      x64      x32      x45      x40      x38      x12      x68      x37      x13      x26      x52      x36      x10      x50      x48      x56      x62      x57      x42      x30      x58      x8      x28      x14      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -1623.15620435 \wedge x < -98.4365698125$$
$$x > -96.3421747101 \wedge x < -92.1533845053$$
$$x > -90.0589894029 \wedge x < -85.8701991981$$
$$x > -83.7758040957 \wedge x < -79.5870138909$$
$$x > -77.4926187885 \wedge x < -73.3038285838$$
$$x > -71.2094334814 \wedge x < -67.0206432766$$
$$x > -64.9262481742 \wedge x < -60.7374579694$$
$$x > -58.643062867 \wedge x < -54.4542726622$$
$$x > -52.3598775598 \wedge x < -48.171087355$$
$$x > -46.0766922527 \wedge x < -41.8879020479$$
$$x > -39.7935069455 \wedge x < -35.6047167407$$
$$x > -33.5103216383 \wedge x < -29.3215314335$$
$$x > -27.2271363311 \wedge x < -23.0383461263$$
$$x > -20.9439510239 \wedge x < -16.7551608191$$
$$x > -14.6607657168 \wedge x < -10.471975512$$
$$x > -8.37758040957 \wedge x < -4.18879020479$$
$$x > -2.09439510239 \wedge x < 2.09439510239$$
$$x > 4.18879020479 \wedge x < 8.37758040957$$
$$x > 10.471975512 \wedge x < 14.6607657168$$
$$x > 16.7551608191 \wedge x < 20.9439510239$$
$$x > 23.0383461263 \wedge x < 27.2271363311$$
$$x > 29.3215314335 \wedge x < 33.5103216383$$
$$x > 35.6047167407 \wedge x < 39.7935069455$$
$$x > 41.8879020479 \wedge x < 46.0766922527$$
$$x > 48.171087355 \wedge x < 52.3598775598$$
$$x > 54.4542726622 \wedge x < 58.643062867$$
$$x > 60.7374579694 \wedge x < 64.9262481742$$
$$x > 67.0206432766 \wedge x < 71.2094334814$$
$$x > 73.3038285838 \wedge x < 77.4926187885$$
$$x > 79.5870138909 \wedge x < 83.7758040957$$
$$x > 85.8701991981 \wedge x < 90.0589894029$$
$$x > 92.1533845053 \wedge x < 96.3421747101$$
$$x > 98.4365698125 \wedge x < 117.286125734$$
$$x > 416.784625376 \wedge x < 630.41292582$$

Быстрый ответ

  /   /            2*pi\     /4*pi              \\
Or|And|0 <= t, t < ----|, And|---- < t, t < 2*pi||
  \   \             3  /     \ 3                //

$$\left(0 \leq t \wedge t < \frac{2 \pi}{3}\right) \vee \left(\frac{4 \pi}{3} < t \wedge t < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    2*pi     4*pi       
[0, ----) U (----, 2*pi)
     3        3         

$$x\ in\ \left[0, \frac{2 \pi}{3}\right) \cup \left(\frac{4 \pi}{3}, 2 \pi\right)$$