cos(t)>-1/7 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(t)>-1/7 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(t) > -1/7

$$\cos{\left(t \right)} > - \frac{1}{7}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (t \right )} > - \frac{1}{7}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (t \right )} = - \frac{1}{7}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (t \right )} = - \frac{1}{7}$$
преобразуем
$$\cos{\left (t \right )} + \frac{1}{7} = 0$$
$$\cos{\left (t \right )} + \frac{1}{7} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (t \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = - \frac{1}{7}$$
Получим ответ: w = -1/7
делаем обратную замену
$$\cos{\left (t \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -4.56904141148$$
$$x_{2} = 35.9849679474$$
$$x_{3} = 102.245108811$$
$$x_{4} = 95.9619235034$$
$$x_{5} = 1.7141438957$$
$$x_{6} = 77.1123675819$$
$$x_{7} = -29.7017826402$$
$$x_{8} = -42.2681532546$$
$$x_{9} = -58.2628116603$$
$$x_{10} = 45.696441046$$
$$x_{11} = 73.6840797905$$
$$x_{12} = -20.5636998172$$
$$x_{13} = -98.8168210192$$
$$x_{14} = -23.418597333$$
$$x_{15} = 42.2681532546$$
$$x_{16} = -73.6840797905$$
$$x_{17} = -39.4132557388$$
$$x_{18} = 7.99732920288$$
$$x_{19} = 23.418597333$$
$$x_{20} = -375.276974535$$
$$x_{21} = -199.347785934$$
$$x_{22} = -92.533635712$$
$$x_{23} = -70.8291822747$$
$$x_{24} = -48.5513385617$$
$$x_{25} = 89.6787381962$$
$$x_{26} = 58.2628116603$$
$$x_{27} = -17.1354120258$$
$$x_{28} = 14.2805145101$$
$$x_{29} = -26.8468851244$$
$$x_{30} = -14.2805145101$$
$$x_{31} = -54.8345238689$$
$$x_{32} = -89.6787381962$$
$$x_{33} = -1.7141438957$$
$$x_{34} = 29.7017826402$$
$$x_{35} = -51.9796263531$$
$$x_{36} = -7.99732920288$$
$$x_{37} = -64.5459969675$$
$$x_{38} = -10.8522267187$$
$$x_{39} = -77.1123675819$$
$$x_{40} = 98.8168210192$$
$$x_{41} = 33.1300704316$$
$$x_{42} = -33.1300704316$$
$$x_{43} = 17.1354120258$$
$$x_{44} = -83.395552889$$
$$x_{45} = 4.56904141148$$
$$x_{46} = -95.9619235034$$
$$x_{47} = 70.8291822747$$
$$x_{48} = -67.4008944833$$
$$x_{49} = 6589.34724334$$
$$x_{50} = 10.8522267187$$
$$x_{51} = -620.321201515$$
$$x_{52} = -61.1177091761$$
$$x_{53} = 51.9796263531$$
$$x_{54} = 48.5513385617$$
$$x_{55} = 67.4008944833$$
$$x_{56} = -86.2504504048$$
$$x_{57} = 39.4132557388$$
$$x_{58} = 20.5636998172$$
$$x_{59} = -45.696441046$$
$$x_{60} = 64.5459969675$$
$$x_{61} = 54.8345238689$$
$$x_{62} = 86.2504504048$$
$$x_{63} = -79.9672650976$$
$$x_{64} = 26.8468851244$$
$$x_{65} = 61.1177091761$$
$$x_{66} = 92.533635712$$
$$x_{67} = -35.9849679474$$
$$x_{68} = 83.395552889$$
$$x_{69} = 79.9672650976$$
$$x_{1} = -4.56904141148$$
$$x_{2} = 35.9849679474$$
$$x_{3} = 102.245108811$$
$$x_{4} = 95.9619235034$$
$$x_{5} = 1.7141438957$$
$$x_{6} = 77.1123675819$$
$$x_{7} = -29.7017826402$$
$$x_{8} = -42.2681532546$$
$$x_{9} = -58.2628116603$$
$$x_{10} = 45.696441046$$
$$x_{11} = 73.6840797905$$
$$x_{12} = -20.5636998172$$
$$x_{13} = -98.8168210192$$
$$x_{14} = -23.418597333$$
$$x_{15} = 42.2681532546$$
$$x_{16} = -73.6840797905$$
$$x_{17} = -39.4132557388$$
$$x_{18} = 7.99732920288$$
$$x_{19} = 23.418597333$$
$$x_{20} = -375.276974535$$
$$x_{21} = -199.347785934$$
$$x_{22} = -92.533635712$$
$$x_{23} = -70.8291822747$$
$$x_{24} = -48.5513385617$$
$$x_{25} = 89.6787381962$$
$$x_{26} = 58.2628116603$$
$$x_{27} = -17.1354120258$$
$$x_{28} = 14.2805145101$$
$$x_{29} = -26.8468851244$$
$$x_{30} = -14.2805145101$$
$$x_{31} = -54.8345238689$$
$$x_{32} = -89.6787381962$$
$$x_{33} = -1.7141438957$$
$$x_{34} = 29.7017826402$$
$$x_{35} = -51.9796263531$$
$$x_{36} = -7.99732920288$$
$$x_{37} = -64.5459969675$$
$$x_{38} = -10.8522267187$$
$$x_{39} = -77.1123675819$$
$$x_{40} = 98.8168210192$$
$$x_{41} = 33.1300704316$$
$$x_{42} = -33.1300704316$$
$$x_{43} = 17.1354120258$$
$$x_{44} = -83.395552889$$
$$x_{45} = 4.56904141148$$
$$x_{46} = -95.9619235034$$
$$x_{47} = 70.8291822747$$
$$x_{48} = -67.4008944833$$
$$x_{49} = 6589.34724334$$
$$x_{50} = 10.8522267187$$
$$x_{51} = -620.321201515$$
$$x_{52} = -61.1177091761$$
$$x_{53} = 51.9796263531$$
$$x_{54} = 48.5513385617$$
$$x_{55} = 67.4008944833$$
$$x_{56} = -86.2504504048$$
$$x_{57} = 39.4132557388$$
$$x_{58} = 20.5636998172$$
$$x_{59} = -45.696441046$$
$$x_{60} = 64.5459969675$$
$$x_{61} = 54.8345238689$$
$$x_{62} = 86.2504504048$$
$$x_{63} = -79.9672650976$$
$$x_{64} = 26.8468851244$$
$$x_{65} = 61.1177091761$$
$$x_{66} = 92.533635712$$
$$x_{67} = -35.9849679474$$
$$x_{68} = 83.395552889$$
$$x_{69} = 79.9672650976$$
Данные корни
$$x_{51} = -620.321201515$$
$$x_{20} = -375.276974535$$
$$x_{21} = -199.347785934$$
$$x_{13} = -98.8168210192$$
$$x_{46} = -95.9619235034$$
$$x_{22} = -92.533635712$$
$$x_{32} = -89.6787381962$$
$$x_{56} = -86.2504504048$$
$$x_{44} = -83.395552889$$
$$x_{63} = -79.9672650976$$
$$x_{39} = -77.1123675819$$
$$x_{16} = -73.6840797905$$
$$x_{23} = -70.8291822747$$
$$x_{48} = -67.4008944833$$
$$x_{37} = -64.5459969675$$
$$x_{52} = -61.1177091761$$
$$x_{9} = -58.2628116603$$
$$x_{31} = -54.8345238689$$
$$x_{35} = -51.9796263531$$
$$x_{24} = -48.5513385617$$
$$x_{59} = -45.696441046$$
$$x_{8} = -42.2681532546$$
$$x_{17} = -39.4132557388$$
$$x_{67} = -35.9849679474$$
$$x_{42} = -33.1300704316$$
$$x_{7} = -29.7017826402$$
$$x_{29} = -26.8468851244$$
$$x_{14} = -23.418597333$$
$$x_{12} = -20.5636998172$$
$$x_{27} = -17.1354120258$$
$$x_{30} = -14.2805145101$$
$$x_{38} = -10.8522267187$$
$$x_{36} = -7.99732920288$$
$$x_{1} = -4.56904141148$$
$$x_{33} = -1.7141438957$$
$$x_{5} = 1.7141438957$$
$$x_{45} = 4.56904141148$$
$$x_{18} = 7.99732920288$$
$$x_{50} = 10.8522267187$$
$$x_{28} = 14.2805145101$$
$$x_{43} = 17.1354120258$$
$$x_{58} = 20.5636998172$$
$$x_{19} = 23.418597333$$
$$x_{64} = 26.8468851244$$
$$x_{34} = 29.7017826402$$
$$x_{41} = 33.1300704316$$
$$x_{2} = 35.9849679474$$
$$x_{57} = 39.4132557388$$
$$x_{15} = 42.2681532546$$
$$x_{10} = 45.696441046$$
$$x_{54} = 48.5513385617$$
$$x_{53} = 51.9796263531$$
$$x_{61} = 54.8345238689$$
$$x_{26} = 58.2628116603$$
$$x_{65} = 61.1177091761$$
$$x_{60} = 64.5459969675$$
$$x_{55} = 67.4008944833$$
$$x_{47} = 70.8291822747$$
$$x_{11} = 73.6840797905$$
$$x_{6} = 77.1123675819$$
$$x_{69} = 79.9672650976$$
$$x_{68} = 83.395552889$$
$$x_{62} = 86.2504504048$$
$$x_{25} = 89.6787381962$$
$$x_{66} = 92.533635712$$
$$x_{4} = 95.9619235034$$
$$x_{40} = 98.8168210192$$
$$x_{3} = 102.245108811$$
$$x_{49} = 6589.34724334$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{51}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{51} - \frac{1}{10}$$
=
$$-620.421201515$$
=
$$-620.421201515$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (t \right )} > - \frac{1}{7}$$
$$\cos{\left (t \right )} > - \frac{1}{7}$$

cos(t) > -1/7

Тогда
$$x < -620.321201515$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -620.321201515 \wedge x < -375.276974535$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x51      x20      x21      x13      x46      x22      x32      x56      x44      x63      x39      x16      x23      x48      x37      x52      x9      x31      x35      x24      x59      x8      x17      x67      x42      x7      x29      x14      x12      x27      x30      x38      x36      x1      x33      x5      x45      x18      x50      x28      x43      x58      x19      x64      x34      x41      x2      x57      x15      x10      x54      x53      x61      x26      x65      x60      x55      x47      x11      x6      x69      x68      x62      x25      x66      x4      x40      x3      x49

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -620.321201515 \wedge x < -375.276974535$$
$$x > -199.347785934 \wedge x < -98.8168210192$$
$$x > -95.9619235034 \wedge x < -92.533635712$$
$$x > -89.6787381962 \wedge x < -86.2504504048$$
$$x > -83.395552889 \wedge x < -79.9672650976$$
$$x > -77.1123675819 \wedge x < -73.6840797905$$
$$x > -70.8291822747 \wedge x < -67.4008944833$$
$$x > -64.5459969675 \wedge x < -61.1177091761$$
$$x > -58.2628116603 \wedge x < -54.8345238689$$
$$x > -51.9796263531 \wedge x < -48.5513385617$$
$$x > -45.696441046 \wedge x < -42.2681532546$$
$$x > -39.4132557388 \wedge x < -35.9849679474$$
$$x > -33.1300704316 \wedge x < -29.7017826402$$
$$x > -26.8468851244 \wedge x < -23.418597333$$
$$x > -20.5636998172 \wedge x < -17.1354120258$$
$$x > -14.2805145101 \wedge x < -10.8522267187$$
$$x > -7.99732920288 \wedge x < -4.56904141148$$
$$x > -1.7141438957 \wedge x < 1.7141438957$$
$$x > 4.56904141148 \wedge x < 7.99732920288$$
$$x > 10.8522267187 \wedge x < 14.2805145101$$
$$x > 17.1354120258 \wedge x < 20.5636998172$$
$$x > 23.418597333 \wedge x < 26.8468851244$$
$$x > 29.7017826402 \wedge x < 33.1300704316$$
$$x > 35.9849679474 \wedge x < 39.4132557388$$
$$x > 42.2681532546 \wedge x < 45.696441046$$
$$x > 48.5513385617 \wedge x < 51.9796263531$$
$$x > 54.8345238689 \wedge x < 58.2628116603$$
$$x > 61.1177091761 \wedge x < 64.5459969675$$
$$x > 67.4008944833 \wedge x < 70.8291822747$$
$$x > 73.6840797905 \wedge x < 77.1123675819$$
$$x > 79.9672650976 \wedge x < 83.395552889$$
$$x > 86.2504504048 \wedge x < 89.6787381962$$
$$x > 92.533635712 \wedge x < 95.9619235034$$
$$x > 98.8168210192 \wedge x < 102.245108811$$
$$x > 6589.34724334$$

Быстрый ответ

  /   /                     /    ___\\     /                   /    ___\    \\
Or\And\0 <= t, t < pi - atan\4*\/ 3 //, And\t < 2*pi, pi + atan\4*\/ 3 / < t//

$$\left(0 \leq t \wedge t < \pi - \operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{3} \right)}\right) \vee \left(t < 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{3} \right)} + \pi < t\right)$$

Быстрый ответ 2

             /    ___\              /    ___\       
[0, pi - atan\4*\/ 3 /) U (pi + atan\4*\/ 3 /, 2*pi)

$$x\ in\ \left[0, \pi - \operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{3} \right)}\right) \cup \left(\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{3} \right)} + \pi, 2 \pi\right)$$