cos(t)>1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(t)>1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(t) > 1/2

$$\cos{\left(t \right)} > \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (t \right )} > \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (t \right )} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (t \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\cos{\left (t \right )} - \frac{1}{2} = 0$$
$$\cos{\left (t \right )} - \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (t \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = 1/2
делаем обратную замену
$$\cos{\left (t \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -70.1622359302$$
$$x_{2} = -13.6135681656$$
$$x_{3} = 11.5191730632$$
$$x_{4} = -89.0117918517$$
$$x_{5} = -26.1799387799$$
$$x_{6} = 49.2182849062$$
$$x_{7} = 86.9173967493$$
$$x_{8} = 74.351026135$$
$$x_{9} = 42.9350995991$$
$$x_{10} = -57.5958653158$$
$$x_{11} = -63.879050623$$
$$x_{12} = -38.7463093943$$
$$x_{13} = 38.7463093943$$
$$x_{14} = 61.7846555206$$
$$x_{15} = -86.9173967493$$
$$x_{16} = -359.18876006$$
$$x_{17} = 99.4837673637$$
$$x_{18} = -61.7846555206$$
$$x_{19} = 82.7286065445$$
$$x_{20} = 76.4454212374$$
$$x_{21} = -80.6342114421$$
$$x_{22} = 13.6135681656$$
$$x_{23} = -76.4454212374$$
$$x_{24} = 7.33038285838$$
$$x_{25} = -32.4631240871$$
$$x_{26} = 63.879050623$$
$$x_{27} = 57.5958653158$$
$$x_{28} = -36.6519142919$$
$$x_{29} = 95.2949771589$$
$$x_{30} = 36.6519142919$$
$$x_{31} = 26.1799387799$$
$$x_{32} = 93.2005820565$$
$$x_{33} = -17.8023583703$$
$$x_{34} = 19.8967534727$$
$$x_{35} = 1651.43053824$$
$$x_{36} = -82.7286065445$$
$$x_{37} = -99.4837673637$$
$$x_{38} = 32.4631240871$$
$$x_{39} = 68.0678408278$$
$$x_{40} = 55.5014702134$$
$$x_{41} = -11.5191730632$$
$$x_{42} = -1.0471975512$$
$$x_{43} = 80.6342114421$$
$$x_{44} = 24.0855436775$$
$$x_{45} = 5.23598775598$$
$$x_{46} = 51.3126800086$$
$$x_{47} = -42.9350995991$$
$$x_{48} = -24.0855436775$$
$$x_{49} = -51.3126800086$$
$$x_{50} = 45.0294947015$$
$$x_{51} = -49.2182849062$$
$$x_{52} = -30.3687289847$$
$$x_{53} = -19.8967534727$$
$$x_{54} = -95.2949771589$$
$$x_{55} = -93.2005820565$$
$$x_{56} = -68.0678408278$$
$$x_{57} = -5.23598775598$$
$$x_{58} = -7.33038285838$$
$$x_{59} = 89.0117918517$$
$$x_{60} = 1.0471975512$$
$$x_{61} = 70.1622359302$$
$$x_{62} = -45.0294947015$$
$$x_{63} = 17.8023583703$$
$$x_{64} = 30.3687289847$$
$$x_{65} = -55.5014702134$$
$$x_{66} = -74.351026135$$
$$x_{67} = -225.147473507$$
$$x_{1} = -70.1622359302$$
$$x_{2} = -13.6135681656$$
$$x_{3} = 11.5191730632$$
$$x_{4} = -89.0117918517$$
$$x_{5} = -26.1799387799$$
$$x_{6} = 49.2182849062$$
$$x_{7} = 86.9173967493$$
$$x_{8} = 74.351026135$$
$$x_{9} = 42.9350995991$$
$$x_{10} = -57.5958653158$$
$$x_{11} = -63.879050623$$
$$x_{12} = -38.7463093943$$
$$x_{13} = 38.7463093943$$
$$x_{14} = 61.7846555206$$
$$x_{15} = -86.9173967493$$
$$x_{16} = -359.18876006$$
$$x_{17} = 99.4837673637$$
$$x_{18} = -61.7846555206$$
$$x_{19} = 82.7286065445$$
$$x_{20} = 76.4454212374$$
$$x_{21} = -80.6342114421$$
$$x_{22} = 13.6135681656$$
$$x_{23} = -76.4454212374$$
$$x_{24} = 7.33038285838$$
$$x_{25} = -32.4631240871$$
$$x_{26} = 63.879050623$$
$$x_{27} = 57.5958653158$$
$$x_{28} = -36.6519142919$$
$$x_{29} = 95.2949771589$$
$$x_{30} = 36.6519142919$$
$$x_{31} = 26.1799387799$$
$$x_{32} = 93.2005820565$$
$$x_{33} = -17.8023583703$$
$$x_{34} = 19.8967534727$$
$$x_{35} = 1651.43053824$$
$$x_{36} = -82.7286065445$$
$$x_{37} = -99.4837673637$$
$$x_{38} = 32.4631240871$$
$$x_{39} = 68.0678408278$$
$$x_{40} = 55.5014702134$$
$$x_{41} = -11.5191730632$$
$$x_{42} = -1.0471975512$$
$$x_{43} = 80.6342114421$$
$$x_{44} = 24.0855436775$$
$$x_{45} = 5.23598775598$$
$$x_{46} = 51.3126800086$$
$$x_{47} = -42.9350995991$$
$$x_{48} = -24.0855436775$$
$$x_{49} = -51.3126800086$$
$$x_{50} = 45.0294947015$$
$$x_{51} = -49.2182849062$$
$$x_{52} = -30.3687289847$$
$$x_{53} = -19.8967534727$$
$$x_{54} = -95.2949771589$$
$$x_{55} = -93.2005820565$$
$$x_{56} = -68.0678408278$$
$$x_{57} = -5.23598775598$$
$$x_{58} = -7.33038285838$$
$$x_{59} = 89.0117918517$$
$$x_{60} = 1.0471975512$$
$$x_{61} = 70.1622359302$$
$$x_{62} = -45.0294947015$$
$$x_{63} = 17.8023583703$$
$$x_{64} = 30.3687289847$$
$$x_{65} = -55.5014702134$$
$$x_{66} = -74.351026135$$
$$x_{67} = -225.147473507$$
Данные корни
$$x_{16} = -359.18876006$$
$$x_{67} = -225.147473507$$
$$x_{37} = -99.4837673637$$
$$x_{54} = -95.2949771589$$
$$x_{55} = -93.2005820565$$
$$x_{4} = -89.0117918517$$
$$x_{15} = -86.9173967493$$
$$x_{36} = -82.7286065445$$
$$x_{21} = -80.6342114421$$
$$x_{23} = -76.4454212374$$
$$x_{66} = -74.351026135$$
$$x_{1} = -70.1622359302$$
$$x_{56} = -68.0678408278$$
$$x_{11} = -63.879050623$$
$$x_{18} = -61.7846555206$$
$$x_{10} = -57.5958653158$$
$$x_{65} = -55.5014702134$$
$$x_{49} = -51.3126800086$$
$$x_{51} = -49.2182849062$$
$$x_{62} = -45.0294947015$$
$$x_{47} = -42.9350995991$$
$$x_{12} = -38.7463093943$$
$$x_{28} = -36.6519142919$$
$$x_{25} = -32.4631240871$$
$$x_{52} = -30.3687289847$$
$$x_{5} = -26.1799387799$$
$$x_{48} = -24.0855436775$$
$$x_{53} = -19.8967534727$$
$$x_{33} = -17.8023583703$$
$$x_{2} = -13.6135681656$$
$$x_{41} = -11.5191730632$$
$$x_{58} = -7.33038285838$$
$$x_{57} = -5.23598775598$$
$$x_{42} = -1.0471975512$$
$$x_{60} = 1.0471975512$$
$$x_{45} = 5.23598775598$$
$$x_{24} = 7.33038285838$$
$$x_{3} = 11.5191730632$$
$$x_{22} = 13.6135681656$$
$$x_{63} = 17.8023583703$$
$$x_{34} = 19.8967534727$$
$$x_{44} = 24.0855436775$$
$$x_{31} = 26.1799387799$$
$$x_{64} = 30.3687289847$$
$$x_{38} = 32.4631240871$$
$$x_{30} = 36.6519142919$$
$$x_{13} = 38.7463093943$$
$$x_{9} = 42.9350995991$$
$$x_{50} = 45.0294947015$$
$$x_{6} = 49.2182849062$$
$$x_{46} = 51.3126800086$$
$$x_{40} = 55.5014702134$$
$$x_{27} = 57.5958653158$$
$$x_{14} = 61.7846555206$$
$$x_{26} = 63.879050623$$
$$x_{39} = 68.0678408278$$
$$x_{61} = 70.1622359302$$
$$x_{8} = 74.351026135$$
$$x_{20} = 76.4454212374$$
$$x_{43} = 80.6342114421$$
$$x_{19} = 82.7286065445$$
$$x_{7} = 86.9173967493$$
$$x_{59} = 89.0117918517$$
$$x_{32} = 93.2005820565$$
$$x_{29} = 95.2949771589$$
$$x_{17} = 99.4837673637$$
$$x_{35} = 1651.43053824$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{16}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{16} - \frac{1}{10}$$
=
$$-359.28876006$$
=
$$-359.28876006$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (t \right )} > \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left (t \right )} > \frac{1}{2}$$

cos(t) > 1/2

Тогда
$$x < -359.18876006$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -359.18876006 \wedge x < -225.147473507$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x16      x67      x37      x54      x55      x4      x15      x36      x21      x23      x66      x1      x56      x11      x18      x10      x65      x49      x51      x62      x47      x12      x28      x25      x52      x5      x48      x53      x33      x2      x41      x58      x57      x42      x60      x45      x24      x3      x22      x63      x34      x44      x31      x64      x38      x30      x13      x9      x50      x6      x46      x40      x27      x14      x26      x39      x61      x8      x20      x43      x19      x7      x59      x32      x29      x17      x35

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -359.18876006 \wedge x < -225.147473507$$
$$x > -99.4837673637 \wedge x < -95.2949771589$$
$$x > -93.2005820565 \wedge x < -89.0117918517$$
$$x > -86.9173967493 \wedge x < -82.7286065445$$
$$x > -80.6342114421 \wedge x < -76.4454212374$$
$$x > -74.351026135 \wedge x < -70.1622359302$$
$$x > -68.0678408278 \wedge x < -63.879050623$$
$$x > -61.7846555206 \wedge x < -57.5958653158$$
$$x > -55.5014702134 \wedge x < -51.3126800086$$
$$x > -49.2182849062 \wedge x < -45.0294947015$$
$$x > -42.9350995991 \wedge x < -38.7463093943$$
$$x > -36.6519142919 \wedge x < -32.4631240871$$
$$x > -30.3687289847 \wedge x < -26.1799387799$$
$$x > -24.0855436775 \wedge x < -19.8967534727$$
$$x > -17.8023583703 \wedge x < -13.6135681656$$
$$x > -11.5191730632 \wedge x < -7.33038285838$$
$$x > -5.23598775598 \wedge x < -1.0471975512$$
$$x > 1.0471975512 \wedge x < 5.23598775598$$
$$x > 7.33038285838 \wedge x < 11.5191730632$$
$$x > 13.6135681656 \wedge x < 17.8023583703$$
$$x > 19.8967534727 \wedge x < 24.0855436775$$
$$x > 26.1799387799 \wedge x < 30.3687289847$$
$$x > 32.4631240871 \wedge x < 36.6519142919$$
$$x > 38.7463093943 \wedge x < 42.9350995991$$
$$x > 45.0294947015 \wedge x < 49.2182849062$$
$$x > 51.3126800086 \wedge x < 55.5014702134$$
$$x > 57.5958653158 \wedge x < 61.7846555206$$
$$x > 63.879050623 \wedge x < 68.0678408278$$
$$x > 70.1622359302 \wedge x < 74.351026135$$
$$x > 76.4454212374 \wedge x < 80.6342114421$$
$$x > 82.7286065445 \wedge x < 86.9173967493$$
$$x > 89.0117918517 \wedge x < 93.2005820565$$
$$x > 95.2949771589 \wedge x < 99.4837673637$$
$$x > 1651.43053824$$

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /5*pi              \\
Or|And|0 <= t, t < --|, And|---- < t, t < 2*pi||
  \   \            3 /     \ 3                //

$$\left(0 \leq t \wedge t < \frac{\pi}{3}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{3} < t \wedge t < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     5*pi       
[0, --) U (----, 2*pi)
    3       3         

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{3}, 2 \pi\right)$$