cos(t)<2/3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(t)<2/3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(t) < 2/3

$$\cos{\left(t \right)} < \frac{2}{3}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(t \right)} < \frac{2}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(t \right)} = \frac{2}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(t \right)} = \frac{2}{3}$$
преобразуем
$$\cos{\left(t \right)} - \frac{2}{3} = 0$$
$$\cos{\left(t \right)} - \frac{2}{3} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(t \right)}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{2}{3}$$
Получим ответ: w = 2/3
делаем обратную замену
$$\cos{\left(t \right)} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 95.0888482782617$$
$$x_{2} = -32.2569952064659$$
$$x_{3} = 74.5571550155871$$
$$x_{4} = 69.9561070495434$$
$$x_{5} = 57.3897364351842$$
$$x_{6} = -93.4067109371259$$
$$x_{7} = -30.57485786533$$
$$x_{8} = -55.7075990940483$$
$$x_{9} = -68.2739697084075$$
$$x_{10} = -0.84106867056793$$
$$x_{11} = -99.6898962443055$$
$$x_{12} = -82.5224776639025$$
$$x_{13} = 49.4244137868688$$
$$x_{14} = -11.7253019437912$$
$$x_{15} = 11.7253019437912$$
$$x_{16} = -13.4074392849271$$
$$x_{17} = 38.5401805136454$$
$$x_{18} = 93.4067109371259$$
$$x_{19} = 32.2569952064659$$
$$x_{20} = -101.372033585441$$
$$x_{21} = -76.239292356723$$
$$x_{22} = 18.0084872509708$$
$$x_{23} = -18.0084872509708$$
$$x_{24} = 80.8403403227667$$
$$x_{25} = 0.84106867056793$$
$$x_{26} = 51.1065511280046$$
$$x_{27} = -61.9907844012279$$
$$x_{28} = 68.2739697084075$$
$$x_{29} = 76.239292356723$$
$$x_{30} = 82.5224776639025$$
$$x_{31} = -36.8580431725096$$
$$x_{32} = -95.0888482782617$$
$$x_{33} = 25.9738098992863$$
$$x_{34} = 61.9907844012279$$
$$x_{35} = 87.1235256299463$$
$$x_{36} = 30.57485786533$$
$$x_{37} = 13.4074392849271$$
$$x_{38} = -38.5401805136454$$
$$x_{39} = 55.7075990940483$$
$$x_{40} = -19.6906245921067$$
$$x_{41} = -43.1412284796892$$
$$x_{42} = -88.8056629710821$$
$$x_{43} = 5.44211663661166$$
$$x_{44} = -63.6729217423638$$
$$x_{45} = -7.12425397774752$$
$$x_{46} = 36.8580431725096$$
$$x_{47} = -51.1065511280046$$
$$x_{48} = 99.6898962443055$$
$$x_{49} = -74.5571550155871$$
$$x_{50} = 24.2916725581504$$
$$x_{51} = 44.823365820825$$
$$x_{52} = -49.4244137868688$$
$$x_{53} = -69.9561070495434$$
$$x_{54} = -80.8403403227667$$
$$x_{55} = 7.12425397774752$$
$$x_{56} = -87.1235256299463$$
$$x_{57} = 43.1412284796892$$
$$x_{58} = -24.2916725581504$$
$$x_{59} = 19.6906245921067$$
$$x_{60} = 63.6729217423638$$
$$x_{61} = -5.44211663661166$$
$$x_{62} = -44.823365820825$$
$$x_{63} = -25.9738098992863$$
$$x_{64} = -57.3897364351842$$
$$x_{65} = 88.8056629710821$$
$$x_{1} = 95.0888482782617$$
$$x_{2} = -32.2569952064659$$
$$x_{3} = 74.5571550155871$$
$$x_{4} = 69.9561070495434$$
$$x_{5} = 57.3897364351842$$
$$x_{6} = -93.4067109371259$$
$$x_{7} = -30.57485786533$$
$$x_{8} = -55.7075990940483$$
$$x_{9} = -68.2739697084075$$
$$x_{10} = -0.84106867056793$$
$$x_{11} = -99.6898962443055$$
$$x_{12} = -82.5224776639025$$
$$x_{13} = 49.4244137868688$$
$$x_{14} = -11.7253019437912$$
$$x_{15} = 11.7253019437912$$
$$x_{16} = -13.4074392849271$$
$$x_{17} = 38.5401805136454$$
$$x_{18} = 93.4067109371259$$
$$x_{19} = 32.2569952064659$$
$$x_{20} = -101.372033585441$$
$$x_{21} = -76.239292356723$$
$$x_{22} = 18.0084872509708$$
$$x_{23} = -18.0084872509708$$
$$x_{24} = 80.8403403227667$$
$$x_{25} = 0.84106867056793$$
$$x_{26} = 51.1065511280046$$
$$x_{27} = -61.9907844012279$$
$$x_{28} = 68.2739697084075$$
$$x_{29} = 76.239292356723$$
$$x_{30} = 82.5224776639025$$
$$x_{31} = -36.8580431725096$$
$$x_{32} = -95.0888482782617$$
$$x_{33} = 25.9738098992863$$
$$x_{34} = 61.9907844012279$$
$$x_{35} = 87.1235256299463$$
$$x_{36} = 30.57485786533$$
$$x_{37} = 13.4074392849271$$
$$x_{38} = -38.5401805136454$$
$$x_{39} = 55.7075990940483$$
$$x_{40} = -19.6906245921067$$
$$x_{41} = -43.1412284796892$$
$$x_{42} = -88.8056629710821$$
$$x_{43} = 5.44211663661166$$
$$x_{44} = -63.6729217423638$$
$$x_{45} = -7.12425397774752$$
$$x_{46} = 36.8580431725096$$
$$x_{47} = -51.1065511280046$$
$$x_{48} = 99.6898962443055$$
$$x_{49} = -74.5571550155871$$
$$x_{50} = 24.2916725581504$$
$$x_{51} = 44.823365820825$$
$$x_{52} = -49.4244137868688$$
$$x_{53} = -69.9561070495434$$
$$x_{54} = -80.8403403227667$$
$$x_{55} = 7.12425397774752$$
$$x_{56} = -87.1235256299463$$
$$x_{57} = 43.1412284796892$$
$$x_{58} = -24.2916725581504$$
$$x_{59} = 19.6906245921067$$
$$x_{60} = 63.6729217423638$$
$$x_{61} = -5.44211663661166$$
$$x_{62} = -44.823365820825$$
$$x_{63} = -25.9738098992863$$
$$x_{64} = -57.3897364351842$$
$$x_{65} = 88.8056629710821$$
Данные корни
$$x_{20} = -101.372033585441$$
$$x_{11} = -99.6898962443055$$
$$x_{32} = -95.0888482782617$$
$$x_{6} = -93.4067109371259$$
$$x_{42} = -88.8056629710821$$
$$x_{56} = -87.1235256299463$$
$$x_{12} = -82.5224776639025$$
$$x_{54} = -80.8403403227667$$
$$x_{21} = -76.239292356723$$
$$x_{49} = -74.5571550155871$$
$$x_{53} = -69.9561070495434$$
$$x_{9} = -68.2739697084075$$
$$x_{44} = -63.6729217423638$$
$$x_{27} = -61.9907844012279$$
$$x_{64} = -57.3897364351842$$
$$x_{8} = -55.7075990940483$$
$$x_{47} = -51.1065511280046$$
$$x_{52} = -49.4244137868688$$
$$x_{62} = -44.823365820825$$
$$x_{41} = -43.1412284796892$$
$$x_{38} = -38.5401805136454$$
$$x_{31} = -36.8580431725096$$
$$x_{2} = -32.2569952064659$$
$$x_{7} = -30.57485786533$$
$$x_{63} = -25.9738098992863$$
$$x_{58} = -24.2916725581504$$
$$x_{40} = -19.6906245921067$$
$$x_{23} = -18.0084872509708$$
$$x_{16} = -13.4074392849271$$
$$x_{14} = -11.7253019437912$$
$$x_{45} = -7.12425397774752$$
$$x_{61} = -5.44211663661166$$
$$x_{10} = -0.84106867056793$$
$$x_{25} = 0.84106867056793$$
$$x_{43} = 5.44211663661166$$
$$x_{55} = 7.12425397774752$$
$$x_{15} = 11.7253019437912$$
$$x_{37} = 13.4074392849271$$
$$x_{22} = 18.0084872509708$$
$$x_{59} = 19.6906245921067$$
$$x_{50} = 24.2916725581504$$
$$x_{33} = 25.9738098992863$$
$$x_{36} = 30.57485786533$$
$$x_{19} = 32.2569952064659$$
$$x_{46} = 36.8580431725096$$
$$x_{17} = 38.5401805136454$$
$$x_{57} = 43.1412284796892$$
$$x_{51} = 44.823365820825$$
$$x_{13} = 49.4244137868688$$
$$x_{26} = 51.1065511280046$$
$$x_{39} = 55.7075990940483$$
$$x_{5} = 57.3897364351842$$
$$x_{34} = 61.9907844012279$$
$$x_{60} = 63.6729217423638$$
$$x_{28} = 68.2739697084075$$
$$x_{4} = 69.9561070495434$$
$$x_{3} = 74.5571550155871$$
$$x_{29} = 76.239292356723$$
$$x_{24} = 80.8403403227667$$
$$x_{30} = 82.5224776639025$$
$$x_{35} = 87.1235256299463$$
$$x_{65} = 88.8056629710821$$
$$x_{18} = 93.4067109371259$$
$$x_{1} = 95.0888482782617$$
$$x_{48} = 99.6898962443055$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{20}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{20} - \frac{1}{10}$$
=
$$-101.372033585441 - \frac{1}{10}$$
=
$$-101.472033585441$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(t \right)} < \frac{2}{3}$$
$$\cos{\left(t \right)} < \frac{2}{3}$$

cos(t) < 2/3

Тогда
$$x < -101.372033585441$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -101.372033585441 \wedge x < -99.6898962443055$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x20      x11      x32      x6      x42      x56      x12      x54      x21      x49      x53      x9      x44      x27      x64      x8      x47      x52      x62      x41      x38      x31      x2      x7      x63      x58      x40      x23      x16      x14      x45      x61      x10      x25      x43      x55      x15      x37      x22      x59      x50      x33      x36      x19      x46      x17      x57      x51      x13      x26      x39      x5      x34      x60      x28      x4      x3      x29      x24      x30      x35      x65      x18      x1      x48

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -101.372033585441 \wedge x < -99.6898962443055$$
$$x > -95.0888482782617 \wedge x < -93.4067109371259$$
$$x > -88.8056629710821 \wedge x < -87.1235256299463$$
$$x > -82.5224776639025 \wedge x < -80.8403403227667$$
$$x > -76.239292356723 \wedge x < -74.5571550155871$$
$$x > -69.9561070495434 \wedge x < -68.2739697084075$$
$$x > -63.6729217423638 \wedge x < -61.9907844012279$$
$$x > -57.3897364351842 \wedge x < -55.7075990940483$$
$$x > -51.1065511280046 \wedge x < -49.4244137868688$$
$$x > -44.823365820825 \wedge x < -43.1412284796892$$
$$x > -38.5401805136454 \wedge x < -36.8580431725096$$
$$x > -32.2569952064659 \wedge x < -30.57485786533$$
$$x > -25.9738098992863 \wedge x < -24.2916725581504$$
$$x > -19.6906245921067 \wedge x < -18.0084872509708$$
$$x > -13.4074392849271 \wedge x < -11.7253019437912$$
$$x > -7.12425397774752 \wedge x < -5.44211663661166$$
$$x > -0.84106867056793 \wedge x < 0.84106867056793$$
$$x > 5.44211663661166 \wedge x < 7.12425397774752$$
$$x > 11.7253019437912 \wedge x < 13.4074392849271$$
$$x > 18.0084872509708 \wedge x < 19.6906245921067$$
$$x > 24.2916725581504 \wedge x < 25.9738098992863$$
$$x > 30.57485786533 \wedge x < 32.2569952064659$$
$$x > 36.8580431725096 \wedge x < 38.5401805136454$$
$$x > 43.1412284796892 \wedge x < 44.823365820825$$
$$x > 49.4244137868688 \wedge x < 51.1065511280046$$
$$x > 55.7075990940483 \wedge x < 57.3897364351842$$
$$x > 61.9907844012279 \wedge x < 63.6729217423638$$
$$x > 68.2739697084075 \wedge x < 69.9561070495434$$
$$x > 74.5571550155871 \wedge x < 76.239292356723$$
$$x > 80.8403403227667 \wedge x < 82.5224776639025$$
$$x > 87.1235256299463 \wedge x < 88.8056629710821$$
$$x > 93.4067109371259 \wedge x < 95.0888482782617$$
$$x > 99.6898962443055$$

Быстрый ответ

   /          /  ___\             /  ___\    \
   |          |\/ 5 |             |\/ 5 |    |
And|t < - atan|-----| + 2*pi, atan|-----| < t|
   \          \  2  /             \  2  /    /

$$t < - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} < t$$

Быстрый ответ 2

     /  ___\        /  ___\        
     |\/ 5 |        |\/ 5 |        
(atan|-----|, - atan|-----| + 2*pi)
     \  2  /        \  2  /        

$$x\ in\ \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + 2 \pi\right)$$