cos(t)<1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(t)<1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(t) < 1/2

$$\cos{\left(t \right)} < \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(t \right)} < \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(t \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(t \right)} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\cos{\left(t \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
$$\cos{\left(t \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(t \right)}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = 1/2
делаем обратную замену
$$\cos{\left(t \right)} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -51.3126800086333$$
$$x_{2} = 5.23598775598299$$
$$x_{3} = 76.4454212373516$$
$$x_{4} = -70.162235930172$$
$$x_{5} = -57.5958653158129$$
$$x_{6} = -38.7463093942741$$
$$x_{7} = -1.0471975511966$$
$$x_{8} = 74.3510261349584$$
$$x_{9} = 82.7286065445312$$
$$x_{10} = -80.634211442138$$
$$x_{11} = 63.8790506229925$$
$$x_{12} = 1.0471975511966$$
$$x_{13} = -11.5191730631626$$
$$x_{14} = -55.5014702134197$$
$$x_{15} = -89.0117918517108$$
$$x_{16} = 32.4631240870945$$
$$x_{17} = -86.9173967493176$$
$$x_{18} = 7.33038285837618$$
$$x_{19} = 24.0855436775217$$
$$x_{20} = -7.33038285837618$$
$$x_{21} = 38.7463093942741$$
$$x_{22} = 51.3126800086333$$
$$x_{23} = -26.1799387799149$$
$$x_{24} = 95.2949771588904$$
$$x_{25} = -13.6135681655558$$
$$x_{26} = -17.8023583703422$$
$$x_{27} = 57.5958653158129$$
$$x_{28} = 19.8967534727354$$
$$x_{29} = -68.0678408277789$$
$$x_{30} = 13.6135681655558$$
$$x_{31} = 93.2005820564972$$
$$x_{32} = 61.7846555205993$$
$$x_{33} = -36.6519142918809$$
$$x_{34} = -42.9350995990605$$
$$x_{35} = -61.7846555205993$$
$$x_{36} = -359.188760060433$$
$$x_{37} = 17.8023583703422$$
$$x_{38} = -82.7286065445312$$
$$x_{39} = -95.2949771588904$$
$$x_{40} = -99.4837673636768$$
$$x_{41} = 42.9350995990605$$
$$x_{42} = 26.1799387799149$$
$$x_{43} = -19.8967534727354$$
$$x_{44} = -49.2182849062401$$
$$x_{45} = 30.3687289847013$$
$$x_{46} = 55.5014702134197$$
$$x_{47} = -5.23598775598299$$
$$x_{48} = 11.5191730631626$$
$$x_{49} = -93.2005820564972$$
$$x_{50} = -76.4454212373516$$
$$x_{51} = -32.4631240870945$$
$$x_{52} = 36.6519142918809$$
$$x_{53} = 89.0117918517108$$
$$x_{54} = -74.3510261349584$$
$$x_{55} = 68.0678408277789$$
$$x_{56} = -225.147473507269$$
$$x_{57} = 45.0294947014537$$
$$x_{58} = -45.0294947014537$$
$$x_{59} = 86.9173967493176$$
$$x_{60} = -63.8790506229925$$
$$x_{61} = 70.162235930172$$
$$x_{62} = -30.3687289847013$$
$$x_{63} = 49.2182849062401$$
$$x_{64} = -24.0855436775217$$
$$x_{65} = 99.4837673636768$$
$$x_{66} = 80.634211442138$$
$$x_{67} = 1651.43053823704$$
$$x_{1} = -51.3126800086333$$
$$x_{2} = 5.23598775598299$$
$$x_{3} = 76.4454212373516$$
$$x_{4} = -70.162235930172$$
$$x_{5} = -57.5958653158129$$
$$x_{6} = -38.7463093942741$$
$$x_{7} = -1.0471975511966$$
$$x_{8} = 74.3510261349584$$
$$x_{9} = 82.7286065445312$$
$$x_{10} = -80.634211442138$$
$$x_{11} = 63.8790506229925$$
$$x_{12} = 1.0471975511966$$
$$x_{13} = -11.5191730631626$$
$$x_{14} = -55.5014702134197$$
$$x_{15} = -89.0117918517108$$
$$x_{16} = 32.4631240870945$$
$$x_{17} = -86.9173967493176$$
$$x_{18} = 7.33038285837618$$
$$x_{19} = 24.0855436775217$$
$$x_{20} = -7.33038285837618$$
$$x_{21} = 38.7463093942741$$
$$x_{22} = 51.3126800086333$$
$$x_{23} = -26.1799387799149$$
$$x_{24} = 95.2949771588904$$
$$x_{25} = -13.6135681655558$$
$$x_{26} = -17.8023583703422$$
$$x_{27} = 57.5958653158129$$
$$x_{28} = 19.8967534727354$$
$$x_{29} = -68.0678408277789$$
$$x_{30} = 13.6135681655558$$
$$x_{31} = 93.2005820564972$$
$$x_{32} = 61.7846555205993$$
$$x_{33} = -36.6519142918809$$
$$x_{34} = -42.9350995990605$$
$$x_{35} = -61.7846555205993$$
$$x_{36} = -359.188760060433$$
$$x_{37} = 17.8023583703422$$
$$x_{38} = -82.7286065445312$$
$$x_{39} = -95.2949771588904$$
$$x_{40} = -99.4837673636768$$
$$x_{41} = 42.9350995990605$$
$$x_{42} = 26.1799387799149$$
$$x_{43} = -19.8967534727354$$
$$x_{44} = -49.2182849062401$$
$$x_{45} = 30.3687289847013$$
$$x_{46} = 55.5014702134197$$
$$x_{47} = -5.23598775598299$$
$$x_{48} = 11.5191730631626$$
$$x_{49} = -93.2005820564972$$
$$x_{50} = -76.4454212373516$$
$$x_{51} = -32.4631240870945$$
$$x_{52} = 36.6519142918809$$
$$x_{53} = 89.0117918517108$$
$$x_{54} = -74.3510261349584$$
$$x_{55} = 68.0678408277789$$
$$x_{56} = -225.147473507269$$
$$x_{57} = 45.0294947014537$$
$$x_{58} = -45.0294947014537$$
$$x_{59} = 86.9173967493176$$
$$x_{60} = -63.8790506229925$$
$$x_{61} = 70.162235930172$$
$$x_{62} = -30.3687289847013$$
$$x_{63} = 49.2182849062401$$
$$x_{64} = -24.0855436775217$$
$$x_{65} = 99.4837673636768$$
$$x_{66} = 80.634211442138$$
$$x_{67} = 1651.43053823704$$
Данные корни
$$x_{36} = -359.188760060433$$
$$x_{56} = -225.147473507269$$
$$x_{40} = -99.4837673636768$$
$$x_{39} = -95.2949771588904$$
$$x_{49} = -93.2005820564972$$
$$x_{15} = -89.0117918517108$$
$$x_{17} = -86.9173967493176$$
$$x_{38} = -82.7286065445312$$
$$x_{10} = -80.634211442138$$
$$x_{50} = -76.4454212373516$$
$$x_{54} = -74.3510261349584$$
$$x_{4} = -70.162235930172$$
$$x_{29} = -68.0678408277789$$
$$x_{60} = -63.8790506229925$$
$$x_{35} = -61.7846555205993$$
$$x_{5} = -57.5958653158129$$
$$x_{14} = -55.5014702134197$$
$$x_{1} = -51.3126800086333$$
$$x_{44} = -49.2182849062401$$
$$x_{58} = -45.0294947014537$$
$$x_{34} = -42.9350995990605$$
$$x_{6} = -38.7463093942741$$
$$x_{33} = -36.6519142918809$$
$$x_{51} = -32.4631240870945$$
$$x_{62} = -30.3687289847013$$
$$x_{23} = -26.1799387799149$$
$$x_{64} = -24.0855436775217$$
$$x_{43} = -19.8967534727354$$
$$x_{26} = -17.8023583703422$$
$$x_{25} = -13.6135681655558$$
$$x_{13} = -11.5191730631626$$
$$x_{20} = -7.33038285837618$$
$$x_{47} = -5.23598775598299$$
$$x_{7} = -1.0471975511966$$
$$x_{12} = 1.0471975511966$$
$$x_{2} = 5.23598775598299$$
$$x_{18} = 7.33038285837618$$
$$x_{48} = 11.5191730631626$$
$$x_{30} = 13.6135681655558$$
$$x_{37} = 17.8023583703422$$
$$x_{28} = 19.8967534727354$$
$$x_{19} = 24.0855436775217$$
$$x_{42} = 26.1799387799149$$
$$x_{45} = 30.3687289847013$$
$$x_{16} = 32.4631240870945$$
$$x_{52} = 36.6519142918809$$
$$x_{21} = 38.7463093942741$$
$$x_{41} = 42.9350995990605$$
$$x_{57} = 45.0294947014537$$
$$x_{63} = 49.2182849062401$$
$$x_{22} = 51.3126800086333$$
$$x_{46} = 55.5014702134197$$
$$x_{27} = 57.5958653158129$$
$$x_{32} = 61.7846555205993$$
$$x_{11} = 63.8790506229925$$
$$x_{55} = 68.0678408277789$$
$$x_{61} = 70.162235930172$$
$$x_{8} = 74.3510261349584$$
$$x_{3} = 76.4454212373516$$
$$x_{66} = 80.634211442138$$
$$x_{9} = 82.7286065445312$$
$$x_{59} = 86.9173967493176$$
$$x_{53} = 89.0117918517108$$
$$x_{31} = 93.2005820564972$$
$$x_{24} = 95.2949771588904$$
$$x_{65} = 99.4837673636768$$
$$x_{67} = 1651.43053823704$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{36}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{36} - \frac{1}{10}$$
=
$$-359.188760060433 - \frac{1}{10}$$
=
$$-359.288760060433$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(t \right)} < \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(t \right)} < \frac{1}{2}$$

cos(t) < 1/2

Тогда
$$x < -359.188760060433$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -359.188760060433 \wedge x < -225.147473507269$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x_36      x_56      x_40      x_39      x_49      x_15      x_17      x_38      x_10      x_50      x_54      x_4      x_29      x_60      x_35      x_5      x_14      x_1      x_44      x_58      x_34      x_6      x_33      x_51      x_62      x_23      x_64      x_43      x_26      x_25      x_13      x_20      x_47      x_7      x_12      x_2      x_18      x_48      x_30      x_37      x_28      x_19      x_42      x_45      x_16      x_52      x_21      x_41      x_57      x_63      x_22      x_46      x_27      x_32      x_11      x_55      x_61      x_8      x_3      x_66      x_9      x_59      x_53      x_31      x_24      x_65      x_67

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -359.188760060433 \wedge x < -225.147473507269$$
$$x > -99.4837673636768 \wedge x < -95.2949771588904$$
$$x > -93.2005820564972 \wedge x < -89.0117918517108$$
$$x > -86.9173967493176 \wedge x < -82.7286065445312$$
$$x > -80.634211442138 \wedge x < -76.4454212373516$$
$$x > -74.3510261349584 \wedge x < -70.162235930172$$
$$x > -68.0678408277789 \wedge x < -63.8790506229925$$
$$x > -61.7846555205993 \wedge x < -57.5958653158129$$
$$x > -55.5014702134197 \wedge x < -51.3126800086333$$
$$x > -49.2182849062401 \wedge x < -45.0294947014537$$
$$x > -42.9350995990605 \wedge x < -38.7463093942741$$
$$x > -36.6519142918809 \wedge x < -32.4631240870945$$
$$x > -30.3687289847013 \wedge x < -26.1799387799149$$
$$x > -24.0855436775217 \wedge x < -19.8967534727354$$
$$x > -17.8023583703422 \wedge x < -13.6135681655558$$
$$x > -11.5191730631626 \wedge x < -7.33038285837618$$
$$x > -5.23598775598299 \wedge x < -1.0471975511966$$
$$x > 1.0471975511966 \wedge x < 5.23598775598299$$
$$x > 7.33038285837618 \wedge x < 11.5191730631626$$
$$x > 13.6135681655558 \wedge x < 17.8023583703422$$
$$x > 19.8967534727354 \wedge x < 24.0855436775217$$
$$x > 26.1799387799149 \wedge x < 30.3687289847013$$
$$x > 32.4631240870945 \wedge x < 36.6519142918809$$
$$x > 38.7463093942741 \wedge x < 42.9350995990605$$
$$x > 45.0294947014537 \wedge x < 49.2182849062401$$
$$x > 51.3126800086333 \wedge x < 55.5014702134197$$
$$x > 57.5958653158129 \wedge x < 61.7846555205993$$
$$x > 63.8790506229925 \wedge x < 68.0678408277789$$
$$x > 70.162235930172 \wedge x < 74.3510261349584$$
$$x > 76.4454212373516 \wedge x < 80.634211442138$$
$$x > 82.7286065445312 \wedge x < 86.9173967493176$$
$$x > 89.0117918517108 \wedge x < 93.2005820564972$$
$$x > 95.2949771588904 \wedge x < 99.4837673636768$$
$$x > 1651.43053823704$$

Быстрый ответ

   /pi          5*pi\
And|-- < t, t < ----|
   \3            3  /

$$\frac{\pi}{3} < t \wedge t < \frac{5 \pi}{3}$$

Быстрый ответ 2

 pi  5*pi 
(--, ----)
 3    3   

$$x\ in\ \left(\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right)$$