cos(x)>=1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)>=1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) >= 1/2

$$\cos{\left(x \right)} \geq \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} \geq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} \geq \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right)} \geq \frac{1}{2}$$

    n    /1    pi\       
(-1) *sin|-- + --| >= 1/2
         \10   6 /       

но

    n    /1    pi\      
(-1) *sin|-- + --| < 1/2
         \10   6 /      

Тогда
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \pi n + \frac{\pi}{3} \wedge x \leq \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /5*pi               \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x < 2*pi||
  \   \             3 /     \ 3                 //

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{3}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{3} \leq x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     5*pi       
[0, --] U [----, 2*pi)
    3       3         

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{3}, 2 \pi\right)$$

График