cos(x)>=1/5 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)>=1/5 (множество решений неравенства)

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (x \right )} \geq \frac{1}{5}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (x \right )} = \frac{1}{5}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = \frac{1}{5}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (x \right )} \geq \frac{1}{5}$$
$$\cos{\left (\pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )} + - \frac{1}{10} \right )} \geq \frac{1}{5}$$

cos(-1/10 + pi*n + acos(1/5)) >= 1/5

но

cos(-1/10 + pi*n + acos(1/5)) < 1/5

Тогда
$$x \leq \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )} \wedge x \leq \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Быстрый ответ

Or(And(x <= acos(1/5), -oo < x), x = -acos(1/5) + 2*pi)

$$\left(x \leq \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )} \wedge -\infty < x\right) \vee x = - \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )} + 2 \pi$$

Быстрый ответ 2

(-oo, acos(1/5)] U {-acos(1/5) + 2*pi}

$$x \in \left(-\infty, \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}\right] \cup \left\{- \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )} + 2 \pi\right\}$$