cos(x)>=1/3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)>=1/3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) >= 1/3

$$\cos{\left(x \right)} \geq \frac{1}{3}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} \geq \frac{1}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{3}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} \geq \frac{1}{3}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)} \right)} \geq \frac{1}{3}$$

    n                             
(-1) *cos(1/10 - acos(1/3)) >= 1/3
       

но

    n                            
(-1) *cos(1/10 - acos(1/3)) < 1/3
      

Тогда
$$x \leq \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)} \wedge x \leq \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

  /   /                 /    ___\\     /      /    ___\                      \\
Or\And\0 <= x, x <= atan\2*\/ 2 //, And\- atan\2*\/ 2 / + 2*pi <= x, x < 2*pi//

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}\right) \vee \left(- \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)} + 2 \pi \leq x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

        /    ___\           /    ___\              
[0, atan\2*\/ 2 /] U [- atan\2*\/ 2 / + 2*pi, 2*pi)

$$x\ in\ \left[0, \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)} + 2 \pi, 2 \pi\right)$$

График