cos(x)>-1/4 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)>-1/4 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) > -1/4

$$\cos{\left(x \right)} > - \frac{1}{4}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} > - \frac{1}{4}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{4}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{4}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} > - \frac{1}{4}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)} \right)} > - \frac{1}{4}$$

    n                              
(-1) *cos(1/10 - acos(-1/4)) > -1/4
       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$
$$x > \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$

Быстрый ответ

  /   /                     /  ____\\     /                   /  ____\    \\
Or\And\0 <= x, x < pi - atan\\/ 15 //, And\x < 2*pi, pi + atan\\/ 15 / < x//

$$\left(0 \leq x \wedge x < \pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}\right) \vee \left(x < 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)} + \pi < x\right)$$

Быстрый ответ 2

             /  ____\              /  ____\       
[0, pi - atan\\/ 15 /) U (pi + atan\\/ 15 /, 2*pi)

$$x\ in\ \left[0, \pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}\right) \cup \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)} + \pi, 2 \pi\right)$$

График