cos(x)>1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)>1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) > 1/2

$$\cos{\left (x \right )} > \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (x \right )} > \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \frac{\pi}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (x \right )} > \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left (\pi n + \frac{\pi}{3} + - \frac{1}{10} \right )} > \frac{1}{2}$$

   /  1    pi       \      
cos|- -- + -- + pi*n| > 1/2
   \  10   3        /      

Тогда
$$x < \pi n + \frac{\pi}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \pi n + \frac{\pi}{3} \wedge x < \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /             pi\
And|-oo < x, x < --|
   \             3 /

$$-\infty < x \wedge x < \frac{\pi}{3}$$

Быстрый ответ 2

      pi 
(-oo, --)
      3  

$$x \in \left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right)$$