cos(x)>sin(x)^2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)>sin(x)^2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

            2   
cos(x) > sin (x)

$$\cos{\left (x \right )} > \sin^{2}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (x \right )} > \sin^{2}{\left (x \right )}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )}$$
преобразуем
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
$$\cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = - 2 i \operatorname{atanh}{\left (\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right )}$$
$$x_{2} = 2 i \operatorname{atanh}{\left (\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right )}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}$$
Данные корни
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

        /   ____________\     
        |  /        ___ |   1 
- 2*atan\\/  -2 + \/ 5  / - --
                            10

=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (x \right )} > \sin^{2}{\left (x \right )}$$

   /        /   ____________\     \       /        /   ____________\     \
   |        |  /        ___ |   1 |      2|        |  /        ___ |   1 |
cos|- 2*atan\\/  -2 + \/ 5  / - --| > sin |- 2*atan\\/  -2 + \/ 5  / - --|
   \                            10/       \                            10/

   /           /   ____________\\       /           /   ____________\\
   |1          |  /        ___ ||      2|1          |  /        ___ ||
cos|-- + 2*atan\\/  -2 + \/ 5  /| > sin |-- + 2*atan\\/  -2 + \/ 5  /|
   \10                          /       \10                          /
   

Тогда
$$x < - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )} \wedge x < 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /          /   ____________\         /   ____________\    \
   |          |  /        ___ |         |  /        ___ |    |
And\x < 2*atan\\/  -2 + \/ 5  /, -2*atan\\/  -2 + \/ 5  / < x/

$$x < 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )} \wedge - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )} < x$$

Быстрый ответ 2

        /   ____________\        /   ____________\ 
        |  /        ___ |        |  /        ___ | 
(-2*atan\\/  -2 + \/ 5  /, 2*atan\\/  -2 + \/ 5  /)

$$x \in \left(- 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}, 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}\right)$$