Решите неравенство cos(x)<2/3 (косинус от (х) меньше 2 делить на 3) - Укажите множество решений неравенства подробно по-шагам. [Есть ответ!]

cos(x)<2/3 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: cos(x)<2/3 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    cos(x) < 2/3
    $$\cos{\left(x \right)} < \frac{2}{3}$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\cos{\left(x \right)} < \frac{2}{3}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\cos{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\cos{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
    $$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
    Или
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
    $$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
    , где n - любое целое число
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
    $$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
    $$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
    $$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\left(\pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
    подставляем в выражение
    $$\cos{\left(x \right)} < \frac{2}{3}$$
    $$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} \right)} < \frac{2}{3}$$
        n                            
    (-1) *cos(1/10 - acos(2/3)) < 2/3
          

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
    $$x > \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
       /          /  ___\             /  ___\    \
       |          |\/ 5 |             |\/ 5 |    |
    And|x < - atan|-----| + 2*pi, atan|-----| < x|
       \          \  2  /             \  2  /    /
    $$x < - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} < x$$
    Быстрый ответ 2 [src]
         /  ___\        /  ___\        
         |\/ 5 |        |\/ 5 |        
    (atan|-----|, - atan|-----| + 2*pi)
         \  2  /        \  2  /        
    $$x\ in\ \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + 2 \pi\right)$$
    График
    cos(x)<2/3 (неравенство) /media/krcore-image-pods/hash/inequation/c/39/dd805daf820aa09dfe1b054ca0dca.png