cos(x)<2/3 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: cos(x)<2/3 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} < \frac{2}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} < \frac{2}{3}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} \right)} < \frac{2}{3}$$
n
(-1) *cos(1/10 - acos(2/3)) < 2/3
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x1 x2
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x > \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
Решение неравенства на графике
/ / ___\ / ___\ \
| |\/ 5 | |\/ 5 | |
And|x < - atan|-----| + 2*pi, atan|-----| < x|
\ \ 2 / \ 2 / /
$$x < - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} < x$$
/ ___\ / ___\
|\/ 5 | |\/ 5 |
(atan|-----|, - atan|-----| + 2*pi)
\ 2 / \ 2 /
$$x\ in\ \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + 2 \pi\right)$$