cos(x)<=2/3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)<=2/3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) <= 2/3

$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{2}{3}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{2}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{2}{3}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} \right)} \leq \frac{2}{3}$$

    n                             
(-1) *cos(1/10 - acos(2/3)) <= 2/3
       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x \geq \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$

Быстрый ответ

   /           /  ___\             /  ___\     \
   |           |\/ 5 |             |\/ 5 |     |
And|x <= - atan|-----| + 2*pi, atan|-----| <= x|
   \           \  2  /             \  2  /     /

$$x \leq - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} \leq x$$

Быстрый ответ 2

     /  ___\        /  ___\        
     |\/ 5 |        |\/ 5 |        
[atan|-----|, - atan|-----| + 2*pi]
     \  2  /        \  2  /        

$$x\ in\ \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + 2 \pi\right]$$

График