cos(x)<=1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)<=1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) <= 1/2

$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right)} \leq \frac{1}{2}$$

    n    /1    pi\       
(-1) *sin|-- + --| <= 1/2
         \10   6 /       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x \geq \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

   /pi            5*pi\
And|-- <= x, x <= ----|
   \3              3  /

$$\frac{\pi}{3} \leq x \wedge x \leq \frac{5 \pi}{3}$$

Быстрый ответ 2

 pi  5*pi 
[--, ----]
 3    3   

$$x\ in\ \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$$

График