cos(x)<-1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)<-1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) < -1/2

$$\cos{\left(x \right)} < - \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} < - \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{2 \pi}{3}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} < - \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3} \right)} < - \frac{1}{2}$$

     n    /1    pi\       
-(-1) *cos|-- + --| < -1/2
          \10   3 /       

но

     n    /1    pi\       
-(-1) *cos|-- + --| > -1/2
          \10   3 /       

Тогда
$$x < \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \pi n + \frac{2 \pi}{3} \wedge x < \pi n - \frac{\pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

   /2*pi          4*pi\
And|---- < x, x < ----|
   \ 3             3  /

$$\frac{2 \pi}{3} < x \wedge x < \frac{4 \pi}{3}$$

Быстрый ответ 2

 2*pi  4*pi 
(----, ----)
  3     3   

$$x\ in\ \left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right)$$

График