cos(x)<-1/5 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)<-1/5 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) < -1/5

$$\cos{\left(x \right)} < - \frac{1}{5}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} < - \frac{1}{5}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{5}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{5}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} < - \frac{1}{5}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} \right)} < - \frac{1}{5}$$

    n                              
(-1) *cos(1/10 - acos(-1/5)) < -1/5
       

но

    n                              
(-1) *cos(1/10 - acos(-1/5)) > -1/5
       

Тогда
$$x < \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} \wedge x < \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /             /    ___\           /    ___\    \
And\x < pi + atan\2*\/ 6 /, pi - atan\2*\/ 6 / < x/

$$x < \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} \right)} + \pi \wedge \pi - \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} \right)} < x$$

Быстрый ответ 2

          /    ___\           /    ___\ 
(pi - atan\2*\/ 6 /, pi + atan\2*\/ 6 /)

$$x\ in\ \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} \right)}, \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} \right)} + \pi\right)$$

График