cos(x)<1/5 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)<1/5 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) < 1/5

$$\cos{\left(x \right)} < \frac{1}{5}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} < \frac{1}{5}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{5}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{5}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} < \frac{1}{5}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)} \right)} < \frac{1}{5}$$

    n                            
(-1) *cos(1/10 - acos(1/5)) < 1/5
      

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x > \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$

Быстрый ответ

   /          /    ___\             /    ___\    \
And\x < - atan\2*\/ 6 / + 2*pi, atan\2*\/ 6 / < x/

$$x < - \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} \right)} + 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} \right)} < x$$

Быстрый ответ 2

     /    ___\        /    ___\        
(atan\2*\/ 6 /, - atan\2*\/ 6 / + 2*pi)

$$x\ in\ \left(\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} \right)} + 2 \pi\right)$$

График