cos(x-4)>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x-4)>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x - 4) > 0

$$\cos{\left (x - 4 \right )} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (x - 4 \right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (x - 4 \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (x - 4 \right )} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$\cos{\left (x - 4 \right )} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x - 4 = \pi n + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$x - 4 = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
Или
$$x - 4 = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x - 4 = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
, где n - любое целое число
Перенесём
$$-4$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$x = \pi n + \frac{\pi}{2} + 4$$
$$x = \pi n - \frac{\pi}{2} + 4$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2} + 4$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2} + 4$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2} + 4$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2} + 4$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2} + 4$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2} + 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \frac{\pi}{2} + 4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \frac{\pi}{2} + \frac{39}{10}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (x - 4 \right )} > 0$$
$$\cos{\left (\pi n + \frac{\pi}{2} + 4 + - \frac{1}{10} - 4 \right )} > 0$$

-sin(-1/10 + pi*n) > 0

Тогда
$$x < \pi n + \frac{\pi}{2} + 4$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \pi n + \frac{\pi}{2} + 4 \wedge x < \pi n - \frac{\pi}{2} + 4$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

  /   /                 pi\     /            3*pi    \\
Or|And|-oo < x, x < 4 + --|, And|x < oo, 4 + ---- < x||
  \   \                 2 /     \             2      //

$$\left(-\infty < x \wedge x < \frac{\pi}{2} + 4\right) \vee \left(x < \infty \wedge 4 + \frac{3 \pi}{2} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

          pi         3*pi     
(-oo, 4 + --) U (4 + ----, oo)
          2           2       

$$x \in \left(-\infty, \frac{\pi}{2} + 4\right) \cup \left(4 + \frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$