cos(x)-1/2>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)-1/2>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) - 1/2 > 0

$$\cos{\left(x \right)} - \frac{1}{2} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{1}{2} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Перенесём -1/2 в правую часть ур-ния

с изменением знака при -1/2

Получим:
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{1}{2} > 0$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right)} - \frac{1}{2} > 0$$

  1       n    /1    pi\    
- - + (-1) *sin|-- + --| > 0
  2            \10   6 /    

Тогда
$$x < \pi n + \frac{\pi}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \pi n + \frac{\pi}{3} \wedge x < \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /5*pi              \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|---- < x, x < 2*pi||
  \   \            3 /     \ 3                //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{3}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{3} < x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     5*pi       
[0, --) U (----, 2*pi)
    3       3         

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{3}, 2 \pi\right)$$

График