cos(x)-1/2<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)-1/2<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) - 1/2 < 0

$$\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{2} < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{2} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{2} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{2} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Перенесём -1/2 в правую часть ур-ния

с изменением знака при -1/2

Получим:
$$\cos{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \frac{\pi}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{2} < 0$$
$$\cos{\left (\pi n + \frac{\pi}{3} + - \frac{1}{10} \right )} - \frac{1}{2} < 0$$

  1      /  1    pi       \    
- - + cos|- -- + -- + pi*n| < 0
  2      \  10   3        /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \pi n + \frac{\pi}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x > \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

  /   /pi          5*pi\     /5*pi            \\
Or|And|-- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
  \   \3            3  /     \ 3              //

$$\left(\frac{\pi}{3} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{3}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{3} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

 pi  5*pi     5*pi     
(--, ----) U (----, oo)
 3    3        3       

$$x \in \left(\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)$$