cos(x)+1/2<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)+1/2<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) + 1/2 < 0

$$\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Перенесём 1/2 в правую часть ур-ния

с изменением знака при 1/2

Получим:
$$\cos{\left (x \right )} = - \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \frac{2 \pi}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} < 0$$
$$\cos{\left (\pi n + \frac{2 \pi}{3} + - \frac{1}{10} \right )} + \frac{1}{2} < 0$$

1      /  1    pi       \    
- - sin|- -- + -- + pi*n| < 0
2      \  10   6        /    

но

1      /  1    pi       \    
- - sin|- -- + -- + pi*n| > 0
2      \  10   6        /    

Тогда
$$x < \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \pi n + \frac{2 \pi}{3} \wedge x < \pi n - \frac{\pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /2*pi          4*pi\
And|---- < x, x < ----|
   \ 3             3  /

$$\frac{2 \pi}{3} < x \wedge x < \frac{4 \pi}{3}$$

Быстрый ответ 2

 2*pi  4*pi 
(----, ----)
  3     3   

$$x \in \left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right)$$