cos(x)^3>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)^3>=0 (множество решений неравенства)

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos^{3}{\left (x \right )} \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos^{3}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos^{3}{\left (x \right )} = 0$$
преобразуем
$$\cos^{3}{\left (x \right )} = 0$$
$$\cos^{3}{\left (x \right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Дано уравнение
$$w^{3} = 0$$
значит
$$w = 0$$
Получим ответ: w = 0
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
подставляем в выражение
$$\cos^{3}{\left (x \right )} \geq 0$$
$$\cos^{3}{\left (- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2} \right )} \geq 0$$

   3           
sin (1/10) >= 0
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \frac{\pi}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \frac{\pi}{2}$$
$$x \geq \frac{3 \pi}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /     pi         \      3*pi\
Or|And|x <= --, -oo < x|, x = ----|
  \   \     2          /       2  /

$$\left(x \leq \frac{\pi}{2} \wedge -\infty < x\right) \vee x = \frac{3 \pi}{2}$$

Быстрый ответ 2

      pi     3*pi 
(-oo, --] U {----}
      2       2   

$$x \in \left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left\{\frac{3 \pi}{2}\right\}$$

График