cot(pi/6-x)-sqrt(3)>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cot(pi/6-x)-sqrt(3)>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   /pi    \     ___     
cot|-- - x| - \/ 3  >= 0
   \6     /             

$$\cot{\left (- x + \frac{\pi}{6} \right )} - \sqrt{3} \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cot{\left (- x + \frac{\pi}{6} \right )} - \sqrt{3} \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cot{\left (- x + \frac{\pi}{6} \right )} - \sqrt{3} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cot{\left (- x + \frac{\pi}{6} \right )} - \sqrt{3} = 0$$
преобразуем
$$\tan{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} - \sqrt{3} = 0$$
$$\tan{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} - \sqrt{3} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w - sqrt3 = 0

Разделим обе части ур-ния на (w - sqrt(3))/w

w = 0 / ((w - sqrt(3))/w)

Получим ответ: w = sqrt(3)
делаем обратную замену
$$\tan{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w \right )}$$
Или
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w \right )}$$
, где n - любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{3}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w \right )} - \frac{\pi}{3}$$
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w_{1} \right )} - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{3} + \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\cot{\left (- x + \frac{\pi}{6} \right )} - \sqrt{3} \geq 0$$

   /pi        \     ___     
cot|-- - -1/10| - \/ 3  >= 0
   \6         /             

    ___      /1    pi\     
- \/ 3  + cot|-- + --| >= 0
             \10   6 /     

но

    ___      /1    pi\    
- \/ 3  + cot|-- + --| < 0
             \10   6 /    

Тогда
$$x \leq 0$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 0$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

x = 0

$$x = 0$$

Быстрый ответ 2

{0}

$$x \in \left\{0\right\}$$