cot(2*x)<=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cot(2*x)<=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cot(2*x) <= 1

$$\cot{\left (2 x \right )} \leq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cot{\left (2 x \right )} \leq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cot{\left (2 x \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cot{\left (2 x \right )} = 1$$
преобразуем
$$\cot{\left (2 x \right )} - 1 = 0$$
$$\cot{\left (2 x \right )} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cot{\left (2 x \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = 1$$
Получим ответ: w = 1
делаем обратную замену
$$\cot{\left (2 x \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}$$
подставляем в выражение
$$\cot{\left (2 x \right )} \leq 1$$
$$\cot{\left (2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}\right) \right )} \leq 1$$

   /1   pi\     
tan|- + --| <= 1
   \5   4 /     

но

   /1   pi\     
tan|- + --| >= 1
   \5   4 /     

Тогда
$$x \leq \frac{\pi}{8}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq \frac{\pi}{8}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

   /pi             \
And|-- <= x, x < oo|
   \8              /

$$\frac{\pi}{8} \leq x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

 pi     
[--, oo)
 8      

$$x \in \left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)$$