sqrt(x+7)<x (неравенство)

Укажите решение неравенства: sqrt(x+7)<x (множество решений неравенства)

Вы ввели

  _______    
\/ x + 7  < x

$$\sqrt{x + 7} < x$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sqrt{x + 7} < x$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{x + 7} = x$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{x + 7} = x$$
$$\sqrt{x + 7} = x$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$x + 7 = x^{2}$$
$$x + 7 = x^{2}$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- x^{2} + x + 7 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 1$$
$$c = 7$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-1) * (7) = 29

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{29}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}$$
Упростить

Т.к.
$$\sqrt{x + 7} = x$$
и
$$\sqrt{x + 7} \geq 0$$
то
$$x \geq 0$$
или
$$0 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}\right)$$
=
$$\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{29}}{2}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{x + 7} < x$$
$$\sqrt{\left(\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{29}}{2}\right) + 7} < \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{29}}{2}$$

     _____________         ____
    /        ____    2   \/ 29 
   /  37   \/ 29   < - + ------
  /   -- + ------    5     2   
\/    5      2       

но

     _____________         ____
    /        ____    2   \/ 29 
   /  37   \/ 29   > - + ------
  /   -- + ------    5     2   
\/    5      2       

Тогда
$$x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /              ____    \
   |        1   \/ 29     |
And|x < oo, - + ------ < x|
   \        2     2       /

$$x < \infty \wedge \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2} < x$$

Быстрый ответ 2

       ____     
 1   \/ 29      
(- + ------, oo)
 2     2        

$$x\ in\ \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}, \infty\right)$$

График