log(2*sin(x))>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(2*sin(x))>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

log(2*sin(x)) > 0

$$\log{\left (2 \sin{\left (x \right )} \right )} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left (2 \sin{\left (x \right )} \right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left (2 \sin{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log{\left (2 \sin{\left (x \right )} \right )} = 0$$
преобразуем
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \log{\left (2 \right )} = 0$$
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \log{\left (2 \right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w + log2 = 0

Разделим обе части ур-ния на (w + log(2))/w

w = 0 / ((w + log(2))/w)

Получим ответ: w = -log(2)
делаем обратную замену
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left (2 \sin{\left (x \right )} \right )} > 0$$
$$\log{\left (2 \sin{\left (- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6} \right )} \right )} > 0$$

   /     /1    pi\\    
log|2*cos|-- + --|| > 0
   \     \10   3 //    

Тогда
$$x < \frac{\pi}{6}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{\pi}{6} \wedge x < \frac{5 \pi}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /pi          5*pi\
And|-- < x, x < ----|
   \6            6  /

$$\frac{\pi}{6} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ 2

 pi  5*pi 
(--, ----)
 6    6   

$$x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right)$$

График