log(2*x-1)<3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(2*x-1)<3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

log(2*x - 1) < 3

$$\log{\left(2 x - 1 \right)} < 3$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left(2 x - 1 \right)} < 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left(2 x - 1 \right)} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log{\left(2 x - 1 \right)} = 3$$
$$\log{\left(2 x - 1 \right)} = 3$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$2 x - 1 = e^{\frac{3}{1}}$$
упрощаем
$$2 x - 1 = e^{3}$$
$$2 x = 1 + e^{3}$$
$$x = \frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}\right)$$
=
$$\frac{2}{5} + \frac{e^{3}}{2}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left(2 x - 1 \right)} < 3$$
$$\log{\left(\left(-1\right) 1 + 2 \cdot \left(\frac{2}{5} + \frac{e^{3}}{2}\right) \right)} < 3$$

   /  1    3\    
log|- - + e | < 3
   \  5     /    

значит решение неравенства будет при:
$$x < \frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /                  3\
   |             1   e |
And|1/2 < x, x < - + --|
   \             2   2 /

$$\frac{1}{2} < x \wedge x < \frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}$$

Быстрый ответ 2

           3 
      1   e  
(1/2, - + --)
      2   2  

$$x\ in\ \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}\right)$$