log(2*x+1)>2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(2*x+1)>2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

log(2*x + 1) > 2

$$\log{\left(2 x + 1 \right)} > 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left(2 x + 1 \right)} > 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left(2 x + 1 \right)} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log{\left(2 x + 1 \right)} = 2$$
$$\log{\left(2 x + 1 \right)} = 2$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$2 x + 1 = e^{\frac{2}{1}}$$
упрощаем
$$2 x + 1 = e^{2}$$
$$2 x = -1 + e^{2}$$
$$x = - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} - \left(\frac{1}{2} - \frac{e^{2}}{2}\right)$$
=
$$- \frac{3}{5} + \frac{e^{2}}{2}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left(2 x + 1 \right)} > 2$$
$$\log{\left(1 + 2 \left(- \frac{3}{5} + \frac{e^{2}}{2}\right) \right)} > 2$$

   /  1    2\    
log|- - + e | > 2
   \  5     /    

Тогда
$$x < - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

       2    
  1   e     
- - + -- < x
  2   2     

$$- \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} < x$$

Быстрый ответ 2

        2     
   1   e      
(- - + --, oo)
   2   2      

$$x\ in\ \left(- \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}, \infty\right)$$